Дифференцирование сложных функций, производные обратных тригонометрических функций

Определение предмета и раздела

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (Дифференцирование сложных функций, производные обратных тригонометрических функций)

Решение пункта 33:

Дана функция:
 y = (x^3 + 2x + 1) \cdot \operatorname{arctg} x 

Нам нужно найти производную этой функции, то есть  \frac{dy}{dx} .

Шаг 1: Используем правило производной произведения

Если функция представлена в виде произведения двух функций:
 y = u \cdot v ,
то её производная вычисляется по формуле:
 (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v' .

Здесь:

•  u = x^3 + 2x + 1 
•  v = \operatorname{arctg} x 

Найдем их производные по отдельности.

Шаг 2: Находим  u' 

Функция  u = x^3 + 2x + 1 .
Дифференцируем по стандартным правилам:

• Производная  x^3  равна  3x^2 .
• Производная  2x  равна  2 .
• Производная константы  1  равна  0 .

Значит,
 u' = 3x^2 + 2 .

Шаг 3: Находим  v' 

Функция  v = \operatorname{arctg} x .
Из таблицы производных обратных тригонометрических функций:
 \frac{d}{dx} \operatorname{arctg} x = \frac{1}{1 + x^2} .

Значит,
 v' = \frac{1}{1 + x^2} .

Шаг 4: Подставляем в формулу производной произведения

Теперь подставляем найденные значения  u'  и  v'  в формулу:

 y' = u' \cdot v + u \cdot v' .

Подставляем:
 y' = (3x^2 + 2) \cdot \operatorname{arctg} x + (x^3 + 2x + 1) \cdot \frac{1}{1 + x^2} .

Ответ:

 y' = (3x^2 + 2) \operatorname{arctg} x + \frac{x^3 + 2x + 1}{1 + x^2} .

Это и есть производная данной функции.