Дифференцирование сложных функций

Определение предмета и раздела

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (Дифференцирование сложных функций)

Решение пункта 21

Дана функция:
 y = e^{-x^4} 

Нам нужно найти её производную  y' .

Шаг 1: Вспоминаем правило дифференцирования показательной функции

Общая формула для производной экспоненциальной функции:
 \frac{d}{dx} e^u = e^u \cdot u' ,
где  u  — это сложная функция, зависящая от  x .

В нашем случае:
 u = -x^4 .

Шаг 2: Находим производную показательной функции

По формуле выше:
 y' = e^{-x^4} \cdot \frac{d}{dx}(-x^4) .

Шаг 3: Дифференцируем степень

Производная  -x^4  находится по стандартному правилу степенной функции:
 \frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1} .

Применяем это правило:
 \frac{d}{dx}(-x^4) = -4x^3 .

Шаг 4: Подставляем найденную производную

Теперь подставляем это в выражение для  y' :
 y' = e^{-x^4} \cdot (-4x^3) .

Шаг 5: Записываем окончательный ответ

 y' = -4x^3 e^{-x^4} .

Это и есть производная данной функции.

Вывод:

Мы использовали:

1. Формулу производной экспоненциальной функции.
2. Правило дифференцирования степенной функции.
3. Метод подстановки для сложных функций.

Таким образом, получили окончательный результат:
 y' = -4x^3 e^{-x^4} .