Дифференцирование обратных тригонометрических функций

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (Дифференцирование обратных тригонометрических функций)

Нам нужно найти производную функции:

 y = \arccos{\sqrt{x - 2}} 

Шаг 1: Вспоминаем производную арккосинуса

Производная функции  y = \arccos{u}  вычисляется по формуле:

 \frac{d}{dx} \arccos{u} = \frac{- u'}{\sqrt{1 - u^2}} 

где  u  — внутренняя функция, а  u'  — её производная.

Шаг 2: Определяем внутреннюю функцию

В данном случае:

 u = \sqrt{x - 2} 

Нам нужно найти её производную.

Шаг 3: Находим производную внутренней функции

Функция  u = \sqrt{x - 2}  записывается как:

 u = (x - 2)^{\frac{1}{2}} 

Используем правило дифференцирования степенной функции:

 \frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1} 

Применяем его:

 u' = \frac{1}{2} (x - 2)^{-\frac{1}{2}} \cdot 1 = \frac{1}{2\sqrt{x - 2}} 

Шаг 4: Подставляем в формулу производной арккосинуса

Теперь подставляем  u  и  u'  в формулу производной арккосинуса:

 y' = \frac{- u'}{\sqrt{1 - u^2}} 

Подставляем найденные значения:

 y' = \frac{- \frac{1}{2\sqrt{x - 2}}}{\sqrt{1 - (\sqrt{x - 2})^2}} 

Упрощаем знаменатель:

 (\sqrt{x - 2})^2 = x - 2 

поэтому:

 \sqrt{1 - (x - 2)} = \sqrt{1 - x + 2} = \sqrt{3 - x} 

Таким образом, выражение становится:

 y' = \frac{- \frac{1}{2\sqrt{x - 2}}}{\sqrt{3 - x}} 

Шаг 5: Упрощаем дробь

Переписываем:

 y' = \frac{-1}{2\sqrt{x - 2} \cdot \sqrt{3 - x}} 

Объединяем корни в один:

 y' = \frac{-1}{2\sqrt{(x - 2)(3 - x)}} 

Ответ:

 y' = \frac{-1}{2\sqrt{(x - 2)(3 - x)}}