Дифференцирование неявных функций

Это задание по математическому анализу, его раздел - дифференцирование неявных функций.

Необходимо найти производную \( y'(1) \) функции, заданной неявным уравнением \( x^y - y^x = 0 \). Чтобы найти производную \( y'(x) \) для функции, заданной неявно, используем метод неявного дифференцирования.

1. Записываем исходное уравнение: \[ x^y - y^x = 0 \]
2. Дифференцируем обе части уравнения по \( x \) с учетом того, что \( y \) - это функция от \( x \) (используем правило цепочки для \( y \)): \[ \frac{d}{dx} (x^y) - \frac{d}{dx} (y^x) = 0 \]
3. Найдём производную от \( x^y \): \[ \frac{d}{dx} (x^y) = yx^{y-1} + x^y \ln(x) \cdot \frac{dy}{dx} \]
4. Найдём производную от \( y^x \): \[ \frac{d}{dx} (y^x) = y^x \ln(y) + y^x \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = y^x \ln(y) + xy^{x-1} \frac{dy}{dx} \]
5. Подставляем найденные выражения в исходное уравнение: \[ yx^{y-1} + x^y \ln(x) \cdot \frac{dy}{dx} - \left( y^x \ln(y) + xy^{x-1} \frac{dy}{dx} \right) = 0 \]
6. Выражаем производную \( \frac{dy}{dx} \): \[ x^y \ln(x) \cdot \frac{dy}{dx} - xy^{x-1} \frac{dy}{dx} = y^x \ln(y) - yx^{y-1} \ \]
7. Выносим \( \frac{dy}{dx} \) за скобки: \[ \left( x^y \ln(x) - xy^{x-1} \right) \frac{dy}{dx} = y^x \ln(y) - yx^{y-1} \]
8. Решаем уравнение относительно \( \frac{dy}{dx} \): \[ \frac{dy}{dx} = \frac{y^x \ln(y) - yx^{y-1}}{x^y \ln(x) - xy^{x-1}} \]

Теперь нам нужно подставить \( x = 1 \) в найденное выражение и вычислить значение производной. Так как \( x = 1 \), нам нужно найти соответствующее значение \( y \), удовлетворяющее изначальному уравнению. Подставляем \( x = 1 \) в \( x^y - y^x = 0 \):

\[ 1^y - y^1 = 0 \]

\[ 1 - y = 0 \]

\[ y = 1 \]

Теперь подставляем \( x = 1 \) и \( y = 1 \) в выражение для производной:

\[ \frac{dy}{dx} \Bigg|_{x=1, y=1} = \frac{1^1 \ln(1) - 1 \cdot 1^{1-1}}{1^1 \ln(1) - 1 \cdot 1^{1-1}} = \frac{1 \cdot 0 - 1 \cdot 1^0}{1 \cdot 0 - 1 \cdot 1^0} = \frac{0 - 1}{0 - 1} = 1 \]

Таким образом, \( y'(1) = 1 \).