Дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными

Данное задание относится к предмету математика, разделу математический анализ или дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными.

Наша задача решить уравнение: \[ 3y \arccos \left( \frac{x^2}{81} \right) + y^2 = 0 \]

Начнем с анализа уравнения. Перепишем его немного иначе: \[ y^2 = -3y \arccos \left( \frac{x^2}{81} \right) \]

Чтобы решить это уравнение, мы можем рассмотреть несколько случаев, такие как \( y = 0 \).

Шаг 1. Рассмотрим случай \( y = 0 \):

Если \( y = 0 \), то: \[ 0 = -3 \cdot 0 \cdot \arccos \left( \frac{x^2}{81} \right) \]

Это уравнение выполняется для любого \( x \). Таким образом, \( y = 0 \) одна из возможных решений, которые удовлетворяют уравнению.

Шаг 2. Рассмотрим случай \( y \neq 0 \):

Если \( y \neq 0 \), то мы можем разделить обе части уравнения на \( y \): \[ y = -3 \arccos \left( \frac{x^2}{81} \right) \]

Теперь решим для \( y \): \[ y = -3 \arccos \left( \frac{x^2}{81} \right) \]

Для того чтобы это было правильным, \( y \) должен быть числом, и поскольку \(\arccos \) определен в диапазоне \([0, \pi]\), \(x^2/81\) должно быть в пределах от 0 до 1. Таким образом, \(x\) может принимать значения в пределах: \[ -9 \leq x \leq 9 \]

Подведем итоги:

• \( y = 0 \) удовлетворяет уравнению для любого \( x \).
• \( y = -3 \arccos \left( \frac{x^2}{81} \right) \) для \( -9 \leq x \leq 9 \).

Итак, решения уравнения: \[ y = 0 \text{ или } y = -3 \arccos \left( \frac{x^2}{81} \right), \text{где } -9 \leq x \leq 9 \]