Дифференциальное исчисление, исследование функций

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (дифференциальное исчисление, исследование функций)

Разберём подробно каждое из заданий.

1. Достаточное условие точки перегиба

Точка перегиба функции — это точка, в которой изменяется выпуклость графика функции.

Достаточное условие:
Пусть функция y = f(x) дважды дифференцируема в окрестности точки x_0.
Если:

1. f''(x_0) = 0
2. f''(x) меняет знак в точке x_0 (то есть слева и справа от x_0 вторая производная имеет разные знаки),

то x_0 — точка перегиба функции.

2. Исследование функции на монотонность

Функция:
y = \frac{(x+4)^2}{2x - 3}.

Шаги исследования:

1. Найдём область определения: знаменатель не должен быть равен нулю:
   2x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{3}{2}.
   Следовательно, D(y) = (-\infty; \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}; +\infty).

2. Найдём первую производную y'(x) и исследуем её знаки для нахождения промежутков монотонности.

3. Найти наименьшее значение функции

Функция:
y = \frac{4}{x^2 - x},
на отрезке [2;5].

Шаги решения:

1. Найдём область определения.
2. Найдём критические точки, решая y'(x) = 0.
3. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка.
4. Выберем наименьшее значение.

4. Найти точки экстремума функции

Функция:
y = x^3 e^{-x}.

Шаги решения:

1. Найдём первую производную:
   y' = 3x^2 e^{-x} - x^3 e^{-x}.
2. Приравняем к нулю и решим уравнение.
3. Определим знаки y' слева и справа от найденных точек.
4. Если знак меняется с «+» на «-», то это максимум, если с «-» на «+» — минимум.

5. Найти точки перегиба кривой

Функция:
y = 2 + 3x - 10x^3 + 10x^4 - 3x^5.

Шаги решения:

1. Найдём вторую производную y''(x).
2. Решим уравнение y''(x) = 0.
3. Проверим смену знака y''(x) в найденных точках.
4. Если смена знака есть, то это точка перегиба.

6. Найти все асимптоты функции

Функция:
y = \frac{x^2 - 1}{x}.

Шаги решения:

1. Найдём вертикальные асимптоты (точки, где знаменатель обращается в ноль).
2. Найдём наклонные и горизонтальные асимптоты, исследуя пределы при x \to \pm\infty.

7. Построить график функции

Функция:
y = x^3 + x^4.

Шаги построения:

1. Найдём область определения.
2. Найдём производные и исследуем на экстремумы и перегибы.
3. Определим поведение функции при больших |x|.
4. Построим график.

Если нужно подробное решение какого-либо пункта, уточните! 😊