Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Определение предмета и раздела

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных)

Решение пункта 11

Задание: Найти уравнение касательной плоскости к поверхности
z = x^2 + y^2
в точке (1,1,2).

Шаг 1: Вспомним общее уравнение касательной плоскости

Касательная плоскость к поверхности z = f(x,y) в точке (x_0, y_0, z_0) находится по формуле:

 z - z_0 = f_x (x_0, y_0) (x - x_0) + f_y (x_0, y_0) (y - y_0) 

где:

• f_x (x_0, y_0) — частная производная функции f(x,y) по x в точке (x_0, y_0),
• f_y (x_0, y_0) — частная производная функции f(x,y) по y в точке (x_0, y_0),
• z_0 = f(x_0, y_0) — значение функции в данной точке.

Шаг 2: Вычислим частные производные

Функция поверхности:
f(x, y) = x^2 + y^2

Найдем частную производную по x:

 f_x = \frac{\partial}{\partial x} (x^2 + y^2) = 2x 

Теперь вычислим частную производную по y:

 f_y = \frac{\partial}{\partial y} (x^2 + y^2) = 2y 

Шаг 3: Подставляем точку (1,1,2)

Подставляем x_0 = 1 и y_0 = 1 в найденные производные:

 f_x (1,1) = 2(1) = 2 

 f_y (1,1) = 2(1) = 2 

Также проверим значение функции в данной точке:

 z_0 = f(1,1) = 1^2 + 1^2 = 2 

Шаг 4: Подставляем значения в уравнение касательной плоскости

Используем формулу:

 z - 2 = 2(x - 1) + 2(y - 1) 

Раскрываем скобки:

 z - 2 = 2x - 2 + 2y - 2 

Приводим подобные:

 z = 2x + 2y - 2 

Ответ:

Уравнение касательной плоскости:
 z = 2x + 2y - 2