Что называется максимумом функции?

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (Исследование функций)

Рассмотрим подробно решение каждого задания:

1. Что называется максимумом функции?

Максимум функции — это наибольшее значение функции в некоторой окрестности точки.

Формально:
Точка x_0 называется точкой локального максимума функции f(x), если существует окрестность (x_0 - \delta, x_0 + \delta), такая что:
f(x) \leq f(x_0) для всех x из этой окрестности.

2. Исследовать на монотонность функцию

Функция задана как:
y = \frac{2 - x}{(x + 3)^2}

Найдем производную:

Используем правило дифференцирования дроби:
y' = \frac{(x+3)^2(-1) - (2-x) \cdot 2(x+3)}{(x+3)^4}

Упростим числитель:
(x+3)^2(-1) - (2-x) \cdot 2(x+3) = -(x+3)^2 - 2(2-x)(x+3)
= -(x+3)^2 - 4x - 6 + 4 + 2x
= -(x+3)^2 - 2x - 2

Исследуем знак производной, решая неравенство y' > 0 и y' < 0. Это дает интервалы:

• Функция возрастает при x \in (7; +\infty) и x \in (-\infty; -3).
• Функция убывает при x \in (-3; 7).

3. Найти точки экстремума функции

Функция дана:
y = (2x + 4)e^{2 - x}

Находим производную:

Используем правило производной произведения:
y' = (2e^{2-x}) + (2x+4)(-e^{2-x})
= 2e^{2-x} - (2x+4)e^{2-x}
= (2 - 2x - 4)e^{2-x}
= (-2x - 2)e^{2-x}

Приравняем к нулю:
(-2x - 2)e^{2-x} = 0

Так как экспонента всегда положительна, решаем -2x - 2 = 0:
x = -1.

Определяем знак производной:

• При x < -1, y' > 0 (функция возрастает).
• При x > -1, y' < 0 (функция убывает).

Следовательно, x = -1 — точка максимума.

4. Найти наибольшее значение функции

Функция:
y = x^4 - 4x на отрезке [-1; 2].

Находим производную:
y' = 4x^3 - 4.

Приравниваем к нулю:
4x^3 - 4 = 0
x^3 = 1
x = 1.

Вычисляем значения функции в критических точках и на границах отрезка:
y(-1) = (-1)^4 - 4(-1) = 1 + 4 = 5
y(1) = (1)^4 - 4(1) = 1 - 4 = -3
y(2) = (2)^4 - 4(2) = 16 - 8 = 8

Наибольшее значение: 8.

5. Найти точки перегиба кривой

Функция:
y = 3 + 5x^4 - 3x^5.

Находим вторую производную:
y' = 20x^3 - 15x^4.
y'' = 60x^2 - 60x^3.

Приравниваем y'' к нулю:
60x^2 - 60x^3 = 0
60x^2(1 - x) = 0.

Решения:
x = 0 или x = 1.

Подставляем в функцию:
y(1) = 3 + 5(1)^4 - 3(1)^5 = 5.

Итак, точка перегиба: (1; 5).

6. Найти асимптоты кривой

Функция:
y = \frac{3x^2 - x}{4 - x}.

Вертикальные асимптоты

Находим, при каких значениях знаменатель равен нулю:
4 - x = 0
x = 4.

Наклонная асимптота

Делим числитель на знаменатель:
\frac{3x^2 - x}{4 - x} \approx -3x - 11.

Значит, наклонная асимптота:
y = -3x - 11.

7. Построить график функции

Функция:
y = x^3 - 3x^2.

Находим производную:
y' = 3x^2 - 6x.

Приравниваем к нулю:
3x(x - 2) = 0.

Решения:
x = 0 и x = 2 — критические точки.

Находим вторую производную:
y'' = 6x - 6.

При x = 0:
y''(0) = -6 (точка максимума).

При x = 2:
y''(2) = 6 (точка минимума).

График имеет экстремумы в точках (0, 0) (максимум) и (2, -4) (минимум).

Вывод:
Мы подробно разобрали все задания, включая нахождение производных, точек экстремума, перегиба, асимптот и построение графика.