Частные производные, смешанные производные

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (Частные производные, смешанные производные)

Решение пункта 8

Нам дана функция:
 f(x, y) = x^2 + y^2 

Нужно доказать, что выполняется равенство смешанных частных производных:
 \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} 

Шаг 1: Найдём первую частную производную по x

Частная производная функции по переменной x обозначает, что мы дифференцируем функцию f(x, y) по x, считая y константой.

Функция:
 f(x, y) = x^2 + y^2 

Берём производную по x:
 \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{d}{dx} (x^2 + y^2) 

Так как производная x^2 равна 2x, а y^2 — это константа (ведь y фиксировано), её производная равна 0:

 \frac{\partial f}{\partial x} = 2x 

Шаг 2: Найдём вторую частную производную по y после x

Теперь берём производную от  \frac{\partial f}{\partial x} = 2x  по y.

Так как 2x не зависит от y (в нём нет переменной y), его производная равна 0:

 \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} (2x) = 0 

Шаг 3: Найдём первую частную производную по y

Теперь сначала дифференцируем f(x, y) = x^2 + y^2 по y:

 \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{d}{dy} (x^2 + y^2) 

Так как x^2 — это константа (ведь x фиксировано), его производная 0, а y^2 даёт 2y:

 \frac{\partial f}{\partial y} = 2y 

Шаг 4: Найдём вторую частную производную по x после y

Теперь берём производную от  \frac{\partial f}{\partial y} = 2y  по x.

Так как 2y не зависит от x, его производная равна 0:

 \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} (2y) = 0 

Шаг 5: Проверяем равенство

Мы нашли:

 \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 0 
 \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = 0 

Так как они равны, то равенство смешанных частных производных выполняется:

 \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} 

Вывод

Мы доказали, что для функции  f(x, y) = x^2 + y^2  выполняется равенство смешанных производных. Это следует из теоремы о равенстве смешанных производных, которая гласит, что если функция имеет непрерывные вторые частные производные, то порядок дифференцирования не влияет на результат.