Частные производные и уравнение Лапласа

Определение предмета и раздела

Предмет: Математический анализ
Раздел: Частные производные и уравнение Лапласа

Решение пункта 15

Нам нужно доказать, что функция

 f(x, y) = x^2 - y^2 

удовлетворяет уравнению Лапласа:

 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0. 

Шаг 1: Вычисление второй частной производной по x

Сначала найдём первую частную производную функции  f(x, y)  по  x .

Первая частная производная по  x :

 \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x^2 - y^2). 

Так как  y^2  не зависит от  x , его производная по  x  равна нулю. Производная  x^2  по  x  равна  2x :

 \frac{\partial f}{\partial x} = 2x. 

Теперь найдём вторую частную производную по  x :

 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} (2x). 

Производная  2x  по  x  равна 2:

 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 2. 

Шаг 2: Вычисление второй частной производной по y

Теперь найдём первую частную производную функции  f(x, y)  по  y :

 \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (x^2 - y^2). 

Так как  x^2  не зависит от  y , его производная по  y  равна нулю. Производная  -y^2  по  y  равна  -2y :

 \frac{\partial f}{\partial y} = -2y. 

Теперь найдём вторую частную производную по  y :

 \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} (-2y). 

Производная  -2y  по  y  равна -2:

 \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -2. 

Шаг 3: Проверка уравнения Лапласа

Подставляем найденные значения во вторую производную в уравнение Лапласа:

 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 2 + (-2) = 0. 

Получили нулевую сумму, значит, функция удовлетворяет уравнению Лапласа.

Вывод

Мы доказали, что функция  f(x, y) = x^2 - y^2  удовлетворяет уравнению Лапласа, так как сумма её вторых частных производных равна нулю.