Частные производные и смешанные частные производные

Определение предмета и раздела

Предмет: Математический анализ
Раздел: Частные производные и смешанные частные производные

Разбор задания

Нам нужно найти смешанную частную производную второго порядка \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} для функции:

f(x, y) = x^3 y^2 + e^{xy}

Это означает, что сначала мы берем первую частную производную по x, а затем от результата берем производную по y.

Шаг 1: Находим первую частную производную по x

Частная производная по x обозначается как \frac{\partial f}{\partial x}.

Функция дана:
f(x, y) = x^3 y^2 + e^{xy}

Применяем правило дифференцирования по x:

1. Производная от x^3 y^2:

   • y^2 — это коэффициент (ведет себя как число).
   • Производная от x^3 по x — это 3x².
   • Значит, \frac{\partial}{\partial x} (x^3 y^2) = 3x^2 y^2.

2. Производная от e^{xy}:

   • Используем правило производной сложной функции.
   • Производная экспоненты e^{xy} — это сама экспонента e^{xy}, умноженная на производную показателя xy по x.
   • Производная xy по x — это y.
   • Значит, \frac{\partial}{\partial x} e^{xy} = y e^{xy}.

Получаем первую частную производную:
\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 y^2 + y e^{xy}

Шаг 2: Находим вторую частную производную по y

Теперь дифференцируем полученное выражение по y.

\frac{\partial}{\partial y} (3x^2 y^2 + y e^{xy})

1. Производная от 3x^2 y^2 по y:

   • 3x^2 — это коэффициент, остается без изменений.
   • Производная y^2 по y — это 2y.
   • Значит, \frac{\partial}{\partial y} (3x^2 y^2) = 6x^2 y.

2. Производная от y e^{xy}:

   • Применяем правило производной произведения:
     \frac{d}{dy} (y e^{xy}) = y \frac{d}{dy} e^{xy} + e^{xy} \frac{d}{dy} y.
   • Производная y по y — это 1.
   • Производная e^{xy} по y:
     • Экспонента остается неизменной: e^{xy}.
     • Производная показателя xy по y — это x.
     • Значит, \frac{d}{dy} e^{xy} = x e^{xy}.
   • Подставляем в правило произведения:
     \frac{d}{dy} (y e^{xy}) = y x e^{xy} + e^{xy}.

Получаем вторую смешанную производную:
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 6x^2 y + x y e^{xy} + e^{xy}

Ответ:

\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 6x^2 y + x y e^{xy} + e^{xy}

Вывод:

Мы последовательно нашли:

1. Первую частную производную по x.
2. Вторую частную производную по y.
3. В процессе использовали правила производной степенной функции, экспоненты и правила дифференцирования произведения.