Частные производные и градиент

Предмет: Математический анализ

Раздел: Частные производные и градиент

Нам нужно найти градиент функции
 f(x, y, z) = x^2y + yz + e^z .

Шаг 1: Определение градиента

Градиент функции — это вектор, который состоит из частных производных функции по каждой из её переменных.
То есть, если у нас есть функция  f(x, y, z) , то её градиент определяется как:

 \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right) .

Теперь вычислим каждую частную производную по отдельности.

Шаг 2: Частная производная по x

Частная производная по  x  означает, что мы дифференцируем функцию по  x , считая остальные переменные  y  и  z  константами.

Функция:
 f(x, y, z) = x^2y + yz + e^z 

• Производная от  x^2y  по  x :
   \frac{\partial}{\partial x} (x^2y) = 2xy 
• Производная от  yz  по  x :
   \frac{\partial}{\partial x} (yz) = 0  (так как  yz  не содержит  x )
• Производная от  e^z  по  x :
   \frac{\partial}{\partial x} (e^z) = 0  (так как  e^z  не зависит от  x )

Итак,
 \frac{\partial f}{\partial x} = 2xy .

Шаг 3: Частная производная по y

Теперь находим производную по  y , считая  x  и  z  константами.

• Производная от  x^2y  по  y :
   \frac{\partial}{\partial y} (x^2y) = x^2 
• Производная от  yz  по  y :
   \frac{\partial}{\partial y} (yz) = z 
• Производная от  e^z  по  y :
   \frac{\partial}{\partial y} (e^z) = 0  (так как  e^z  не зависит от  y )

Итак,
 \frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + z .

Шаг 4: Частная производная по z

Теперь находим производную по  z , считая  x  и  y  константами.

• Производная от  x^2y  по  z :
   \frac{\partial}{\partial z} (x^2y) = 0  (так как  x^2y  не содержит  z )
• Производная от  yz  по  z :
   \frac{\partial}{\partial z} (yz) = y 
• Производная от  e^z  по  z :
   \frac{\partial}{\partial z} (e^z) = e^z 

Итак,
 \frac{\partial f}{\partial z} = y + e^z .

Шаг 5: Запись градиента

Теперь соберём все найденные частные производные в вектор:

 \nabla f = \left( 2xy, x^2 + z, y + e^z \right) .

Это и есть градиент функции.

Ответ:

 \nabla f = (2xy, x^2 + z, y + e^z) .

Градиент показывает направление наискорейшего возрастания функции в каждой точке пространства.