Частные производные и дифференцирование функций нескольких переменных

Определение предмета и раздела

Предмет: Математический анализ
Раздел: Частные производные и дифференцирование функций нескольких переменных

Разбор задания

Нам нужно найти частные производные первого порядка функции:

 f(x, y) = e^{x^2 + y^2} 

Частные производные — это производные функции по одной из переменных при фиксированных остальных переменных.

Шаг 1: Частная производная по ( x )

Определение частной производной:
Частная производная функции ( f(x, y) ) по переменной ( x ) обозначается как ( \frac{\partial f}{\partial x} ) и вычисляется как обычная производная, но при этом ( y ) считается константой.

Наша функция:
 f(x, y) = e^{x^2 + y^2} 

Внутри экспоненты стоит выражение ( x^2 + y^2 ). Чтобы продифференцировать экспоненту, используем правило производной сложной функции:

[ \frac{d}{dx} e^{g(x)} = e^{g(x)} \cdot g'(x) ]

где ( g(x) = x^2 + y^2 ), а значит, его производная по ( x ):

[ \frac{d}{dx} (x^2 + y^2) = 2x ]

Теперь применяем правило:

[ \frac{\partial f}{\partial x} = e^{x^2 + y^2} \cdot 2x ]

Или записываем в окончательном виде:

 \frac{\partial f}{\partial x} = 2x e^{x^2 + y^2} 

Шаг 2: Частная производная по ( y )

Аналогично, частная производная по ( y ) обозначается как ( \frac{\partial f}{\partial y} ) и вычисляется так же, но теперь ( x ) считаем константой.

Опять применяем правило сложной функции:

[ \frac{d}{dy} e^{x^2 + y^2} = e^{x^2 + y^2} \cdot \frac{d}{dy} (x^2 + y^2) ]

Производная от ( x^2 + y^2 ) по ( y ):

[ \frac{d}{dy} (x^2 + y^2) = 2y ]

Следовательно:

[ \frac{\partial f}{\partial y} = e^{x^2 + y^2} \cdot 2y ]

Записываем окончательный ответ:

 \frac{\partial f}{\partial y} = 2y e^{x^2 + y^2} 

Итоговый ответ

Мы нашли частные производные первого порядка функции ( f(x, y) = e^{x^2 + y^2} ):

1. По ( x ):
    \frac{\partial f}{\partial x} = 2x e^{x^2 + y^2} 
2. По ( y ):
    \frac{\partial f}{\partial y} = 2y e^{x^2 + y^2} 

Вывод

Мы применили правило производной сложной функции, учитывая, что экспонента остается неизменной, а производная внутренней функции умножается на экспоненту. Это стандартный метод вычисления производных функций нескольких переменных.