Частные производные, экстремумы функций нескольких переменных

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (Частные производные, экстремумы функций нескольких переменных)

Задача 8: Найти стационарные точки функции
 f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy 
и исследовать их на экстремум.

Шаг 1: Определение стационарных точек

Стационарные точки — это точки, в которых частные производные функции по всем переменным равны нулю.

Находим частные производные

Частная производная функции  f(x, y)  по переменной  x :  \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x^3 + y^3 - 3xy) 
Дифференцируем каждое слагаемое:

• Производная  x^3  по  x :
   \frac{d}{dx} (x^3) = 3x^2 
• Производная  y^3  по  x :
   \frac{d}{dx} (y^3) = 0  (так как  y^3  не зависит от  x )
• Производная  -3xy  по  x :
   \frac{d}{dx} (-3xy) = -3y 

Итак, получаем:  \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 - 3y 

Теперь находим частную производную по  y :  \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (x^3 + y^3 - 3xy) 
Дифференцируем:

• Производная  x^3  по  y :
   \frac{d}{dy} (x^3) = 0  (так как  x^3  не зависит от  y )
• Производная  y^3  по  y :
   \frac{d}{dy} (y^3) = 3y^2 
• Производная  -3xy  по  y :
   \frac{d}{dy} (-3xy) = -3x 

Итак, получаем:  \frac{\partial f}{\partial y} = 3y^2 - 3x 

Находим стационарные точки

Стационарные точки находятся из системы уравнений:  \begin{cases} 3x^2 - 3y = 0 \ 3y^2 - 3x = 0 \end{cases} 

Упростим:
 \begin{cases} x^2 = y \ y^2 = x \end{cases} 

Подставляем  y = x^2  во второе уравнение:  (x^2)^2 = x 
 x^4 = x 
 x^4 - x = 0 
Вынесем  x  за скобки:
 x(x^3 - 1) = 0 
Разложим  x^3 - 1 :  x(x - 1)(x^2 + x + 1) = 0 

Решения:

1.  x = 0 
2.  x = 1 
3.  x^2 + x + 1 = 0  (дискриминант отрицательный, вещественных корней нет)

Найдем соответствующие  y :

• При  x = 0 :  y = 0^2 = 0 
• При  x = 1 :  y = 1^2 = 1 

Стационарные точки:
 (0,0)  и  (1,1) .

Шаг 2: Исследование на экстремум

Для этого вычислим вторые частные производные и составим матрицу Гессе.

Вторые частные производные

 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{d}{dx} (3x^2 - 3y) = 6x 
 \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{d}{dy} (3y^2 - 3x) = 6y 
 \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (3x^2 - 3y) = -3 

Матрица Гессе:  H = \begin{bmatrix} 6x & -3 \ -3 & 6y \end{bmatrix} 

Определитель матрицы Гессе:  D = (6x)(6y) - (-3)(-3) = 36xy - 9 

Анализ в точке (0,0)

 D = 36(0)(0) - 9 = -9 
Так как  D < 0 , точка  (0,0)  — седловая (не экстремум).

Анализ в точке (1,1)

 D = 36(1)(1) - 9 = 27 > 0 
Так как  D > 0  и  \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 6(1) = 6 > 0 , точка  (1,1)  — локальный минимум.

Ответ:

1. Стационарные точки:  (0,0)  и  (1,1) .
2. Точка  (0,0)  — седловая (не экстремум).
3. Точка  (1,1)  — локальный минимум.