Частные производные, дифференциальные уравнения

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (Частные производные, Дифференциальные уравнения)

Рассмотрим пункт 4:
Нам дана функция:
 f(x, y) = x^2 y + y^3 

Необходимо доказать, что она удовлетворяет уравнению:
 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 6y 

Шаг 1: Найдём первую частную производную по ( x )

Частная производная по ( x ) означает, что мы дифференцируем функцию ( f(x, y) ), считая ( y ) постоянной.

Функция:
 f(x, y) = x^2 y + y^3 

Производная по ( x ):

• Производная от ( x^2 y ) по ( x ) (считаем ( y ) константой):
   \frac{\partial}{\partial x} (x^2 y) = 2x y 
• Производная от ( y^3 ) по ( x ) (так как ( y^3 ) не зависит от ( x ), её производная равна нулю):
   \frac{\partial}{\partial x} (y^3) = 0 

Таким образом, первая частная производная по ( x ):
 \frac{\partial f}{\partial x} = 2x y 

Шаг 2: Найдём вторую частную производную по ( x )

Теперь дифференцируем ( \frac{\partial f}{\partial x} = 2x y ) по ( x ):

 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} (2x y) 

Так как ( y ) - константа, а производная ( 2x ) по ( x ) равна 2, получаем:

 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 2y 

Шаг 3: Найдём первую частную производную по ( y )

Теперь дифференцируем ( f(x, y) ) по ( y ), считая ( x ) постоянным:

Функция:
 f(x, y) = x^2 y + y^3 

Производная:

• Производная от ( x^2 y ) по ( y ) (считаем ( x^2 ) константой):
   \frac{\partial}{\partial y} (x^2 y) = x^2 
• Производная от ( y^3 ) по ( y ):
   \frac{\partial}{\partial y} (y^3) = 3y^2 

Таким образом, первая частная производная по ( y ):
 \frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 3y^2 

Шаг 4: Найдём вторую частную производную по ( y )

Теперь дифференцируем ( \frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 3y^2 ) по ( y ):

 \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} (x^2 + 3y^2) 

Так как ( x^2 ) - константа, его производная равна нулю, а производная ( 3y^2 ) по ( y ) равна ( 6y ):

 \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 6y 

Шаг 5: Проверим уравнение

Нам нужно проверить:
 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 6y 

Подставляем найденные значения:
 2y + 6y = 8y \neq 6y 

ОШИБКА! Мы допустили ошибку в постановке задачи. Внимательно пересмотрим условие.

В исходном уравнении задано:
 f(x, y) = x^2 y + y^3 

Наши вычисления верны, но уравнение, которое нужно проверить, должно быть:
 2y + 6y = 8y 

Если в условии должно быть 8y, то функция ( f(x, y) ) удовлетворяет уравнению. Однако если в условии действительно 6y, то либо в задаче ошибка, либо функция задана неверно.