Частные производные

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (Частные производные)

Нам нужно найти все частные производные первого и второго порядка для функции:

 f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 + xyz 

1. Частные производные первого порядка

Частная производная функции по переменной означает нахождение производной, считая остальные переменные константами.

Частная производная по x

Обозначается как  \frac{\partial f}{\partial x} .
Берем производную по x, считая y и z константами:

 \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x^2 + y^2 + z^2 + xyz) 

Рассмотрим слагаемые:

•  \frac{\partial}{\partial x} (x^2) = 2x  (так как производная  x^2  — это  2x )
•  \frac{\partial}{\partial x} (y^2) = 0  (так как  y^2  не зависит от  x )
•  \frac{\partial}{\partial x} (z^2) = 0  (по той же причине)
•  \frac{\partial}{\partial x} (xyz) = yz  (так как производная  x  — это  1 , а  yz  остается)

Итого:
 \frac{\partial f}{\partial x} = 2x + yz 

Частная производная по y

Обозначается как  \frac{\partial f}{\partial y} .
Берем производную по y, считая x и z константами:

 \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (x^2 + y^2 + z^2 + xyz) 

Рассмотрим слагаемые:

•  \frac{\partial}{\partial y} (x^2) = 0  (не зависит от  y )
•  \frac{\partial}{\partial y} (y^2) = 2y 
•  \frac{\partial}{\partial y} (z^2) = 0 
•  \frac{\partial}{\partial y} (xyz) = xz 

Итого:
 \frac{\partial f}{\partial y} = 2y + xz 

Частная производная по z

Обозначается как  \frac{\partial f}{\partial z} .
Берем производную по z, считая x и y константами:

 \frac{\partial f}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} (x^2 + y^2 + z^2 + xyz) 

Рассмотрим слагаемые:

•  \frac{\partial}{\partial z} (x^2) = 0 
•  \frac{\partial}{\partial z} (y^2) = 0 
•  \frac{\partial}{\partial z} (z^2) = 2z 
•  \frac{\partial}{\partial z} (xyz) = xy 

Итого:
 \frac{\partial f}{\partial z} = 2z + xy 

2. Частные производные второго порядка

Теперь находим вторые частные производные, то есть берем производные от уже найденных первых частных производных.

Вторые частные производные по x

Берем производную от  \frac{\partial f}{\partial x} = 2x + yz :

 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} (2x + yz) = 2 + 0 = 2 

Вторые частные производные по y

Берем производную от  \frac{\partial f}{\partial y} = 2y + xz :

 \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} (2y + xz) = 2 + 0 = 2 

Вторые частные производные по z

Берем производную от  \frac{\partial f}{\partial z} = 2z + xy :

 \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} = \frac{\partial}{\partial z} (2z + xy) = 2 + 0 = 2 

Смешанные частные производные

Смешанные частные производные означают, что сначала берем производную по одной переменной, а потом по другой.

По x, затем по y

Берем производную от  \frac{\partial f}{\partial x} = 2x + yz  по y:

 \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} (2x + yz) = 0 + z = z 

По y, затем по x

Берем производную от  \frac{\partial f}{\partial y} = 2y + xz  по x:

 \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} (2y + xz) = 0 + z = z 

Поскольку  \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} , значит, функция удовлетворяет теореме о равенстве смешанных производных.

По x, затем по z

Берем производную от  \frac{\partial f}{\partial x} = 2x + yz  по z:

 \frac{\partial^2 f}{\partial z \partial x} = \frac{\partial}{\partial z} (2x + yz) = 0 + y = y 

По z, затем по x

Берем производную от  \frac{\partial f}{\partial z} = 2z + xy  по x:

 \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial z} = \frac{\partial}{\partial x} (2z + xy) = 0 + y = y 

По y, затем по z

Берем производную от  \frac{\partial f}{\partial y} = 2y + xz  по z:

 \frac{\partial^2 f}{\partial z \partial y} = \frac{\partial}{\partial z} (2y + xz) = 0 + x = x 

По z, затем по y

Берем производную от  \frac{\partial f}{\partial z} = 2z + xy  по y:

 \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial z} = \frac{\partial}{\partial y} (2z + xy) = 0 + x = x 

Ответ:

Все частные производные первого и второго порядка найдены! 🎉