Асимптоты графиков функций

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (Асимптоты графиков функций)

Нам нужно найти асимптоты графика функции:
y = \ln(x - 1)

Шаг 1: Определение асимптот

Асимптоты — это такие прямые, к которым график функции неограниченно приближается, но никогда их не пересекает.

Существуют три вида асимптот:

1. Вертикальные (параллельны оси (OY))
2. Горизонтальные (параллельны оси (OX))
3. Наклонные (имеют вид (y = kx + b))

Шаг 2: Поиск вертикальной асимптоты

Вертикальная асимптота возникает там, где функция стремится к бесконечности или неопределенности.

Функция дана как: y = \ln(x - 1)

Логарифмическая функция определена только при (x - 1 > 0), то есть (x > 1).
При (x \to 1^+) (то есть (x) приближается к 1 справа), аргумент логарифма стремится к нулю:
\ln(x - 1) \to -\infty

Это означает, что (x = 1) — это вертикальная асимптота.

Ответ: Вертикальная асимптота: x = 1.

Шаг 3: Поиск горизонтальной асимптоты

Горизонтальная асимптота определяется при предельном переходе (x \to \infty).

Рассмотрим предел функции при (x \to \infty): \lim\limits_{x \to \infty} \ln(x - 1) = \infty

Так как логарифм растёт неограниченно, горизонтальной асимптоты нет.

Шаг 4: Поиск наклонной асимптоты

Наклонная асимптота имеет вид y = kx + b.
Чтобы её найти, нужно вычислить коэффициенты:

1. Наклон асимптоты:
   k = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{\ln(x - 1)}{x}

   Так как логарифм растёт медленнее, чем (x), то: \lim\limits_{x \to \infty} \frac{\ln(x - 1)}{x} = 0

   Значит, наклонной асимптоты тоже нет.

Вывод

• Вертикальная асимптота: x = 1
• Горизонтальных и наклонных асимптот нет.

📌 Ответ: Единственная асимптота — вертикальная прямая (x = 1).