Асимптоты графиков функции

Определение предмета и раздела

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (Асимптоты графиков функции)

Задание

Найти асимптоты графика функции:

 y = \frac{x^2}{x^2 - 1} 

Шаг 1: Определение асимптот

Асимптоты — это прямые, к которым график функции приближается, но никогда их не пересекает (или пересекает в ограниченном количестве точек). Они бывают:

1. Вертикальные (параллельны оси OY).
2. Горизонтальные (параллельны оси OX).
3. Наклонные (в общем виде  y = kx + b ).

Шаг 2: Поиск вертикальных асимптот

Вертикальные асимптоты возникают в точках, где знаменатель функции обращается в ноль (при этом числитель не становится нулем).

Рассмотрим знаменатель:

 x^2 - 1 = 0 

Решим уравнение:

 x^2 = 1 

 x = \pm 1 

Так как в этих точках знаменатель обращается в ноль, но числитель  x^2  остаётся ненулевым, то прямые  x = 1  и  x = -1  являются вертикальными асимптотами.

Шаг 3: Поиск горизонтальных асимптот

Горизонтальные асимптоты определяются при пределе функции  y  при  x \to \pm\infty .

Рассмотрим предел:

 \lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^2 - 1} 

Разделим числитель и знаменатель на  x^2 :

 \lim\limits_{x \to \infty} \frac{1}{1 - \frac{1}{x^2}} = \frac{1}{1 - 0} = 1 

Аналогично для  x \to -\infty :

 \lim\limits_{x \to -\infty} \frac{x^2}{x^2 - 1} = 1 

Следовательно, горизонтальная асимптота — прямая  y = 1 .

Шаг 4: Поиск наклонных асимптот

Наклонные асимптоты существуют, если горизонтальной асимптоты нет. Так как у нас уже есть горизонтальная асимптота  y = 1 , наклонных асимптот нет.

Итоговый ответ:

1. Вертикальные асимптоты:  x = \pm 1 .
2. Горизонтальная асимптота:  y = 1 .
3. Наклонных асимптот нет.

Объяснение "словно школьнику":

• Асимптоты — это линии, к которым график приближается, но не пересекает.
• Вертикальные асимптоты находятся там, где знаменатель становится нулём, но числитель остаётся ненулевым.
• Горизонтальная асимптота — это значение, к которому стремится функция при больших  x .
• Если есть горизонтальная асимптота, наклонных не бывает.

Готово! 🎯