Асимптотический анализ функций

Это задание относится к математическому анализу, а конкретно к асимптотическому анализу функций.

Доказательство:

Нам нужно показать, что $\text{(}\ln (\cos x)\text{)}$ по порядку стремится к 0 быстрее, чем $\text{(}\sqrt[3]{1+\sin (2x)-1}\text{)}$, при $\text{(}x\to 2\pi \text{)}$.

1. Разберем поведение $\text{(}\ln (\cos x)\text{)}$ при $\text{(}x\to 2\pi \text{)}$:

Когда переменная $\text{(}x\text{)}$ приближается к $\text{(}2\pi \text{)}$, $\text{(}\cos x\text{)}$ стремится к $\text{(}\cos (2\pi )=1\text{)}$.

$\text{[}\underset{x\to 2\pi }{lim}\cos (x)=1\text{]}$

Логарифм от 1 равен нулю:

$\text{[}\underset{x\to 2\pi }{lim}\ln (\cos x)=\ln (1)=0\text{]}$

Мы знаем, что $\text{(}\cos (x)\approx 1-\frac{(x-2\pi {)}^2}{2}\text{)}$ при $\text{(}x\to 2\pi \text{)}$. Тогда:

$\text{[}\ln (\cos x)\approx \ln (1-\frac{(x-2\pi {)}^2}{2})\text{]}$

Используем разложение в ряд Тейлора для $\text{(}\ln (1+u)\approx u\text{)}$, при $\text{(}u\to 0\text{)}$:

$\text{[}\ln (1-\frac{(x-2\pi {)}^2}{2})\approx -\frac{(x-2\pi {)}^2}{2}\text{]}$

Итак, для малых $\text{(}x-2\pi \text{)}$:

$\text{[}\ln (\cos x)\sim -\frac{(x-2\pi {)}^2}{2}\text{]}$

2. Рассмотрим выражение $\text{(}\sqrt[3]{1+\sin (2x)-1}\text{)}$:

Сначала упростим: $\text{(}\sin (2x)\text{)}$ при $\text{(}x\to 2\pi \text{)}$ стремится к $\text{(}\sin (4\pi )=0\text{)}$:

$\text{[}\sin (2x)=\sin (2\cdot 2\pi )=0\text{]}$

Разложим $\text{(}\sin (2x)\text{)}$ в окрестности точки $\text{(}x=2\pi \text{)}$:

$\text{[}\sin (2x)\approx 2(x-2\pi )\text{]}$

Соответственно,

$\text{[}1+\sin (2x)-1=\sin (2x)\approx 2(x-2\pi )\text{]}$

Теперь нам нужно вычислить кубический корень:

$\text{[}\sqrt[3]{2(x-2\pi )}\sim (x-2\pi {)}^{1/3}\text{]}$

3. Сравним порядок убывания функций:

Мы получили, что:

$\text{[}\ln (\cos x)\sim -\frac{(x-2\pi {)}^2}{2}\text{]}$

и

$\text{[}\sqrt[3]{1+\sin (2x)-1}\sim (x-2\pi {)}^{1/3}.\text{]}$

Теперь нужно сравнить скорости убывания:

• $\text{(}(x-2\pi {)}^2\text{)}$ убывает быстрее, чем $\text{(}(x-2\pi {)}^{1/3}\text{)}$ при $\text{(}x\to 2\pi \text{)}$, поскольку $\text{(}2>\frac{1}{3}\text{)}$.

Следовательно, $\text{(}\ln (\cos x)\text{)}$ действительно стремится к нулю быстрее, чем $\text{(}\sqrt[3]{1+\sin (2x)-1}\text{)}$, что и требовалось доказать.

Ответ:

Мы показали, что:

$\text{[}\ln (\cos x)=o\left(\sqrt[3]{1+\sin (2x)-1}\right)\text{при}x\to 2\pi .\text{]}$