Асимптотический анализ функций

Это задание относится к математическому анализу, а конкретно к асимптотическому анализу функций.

Доказательство:

Нам нужно показать, что \(\ln(\cos x)\) по порядку стремится к 0 быстрее, чем \(\sqrt[3]{1 + \sin(2x) - 1}\), при \(x \to 2\pi\).

1. Разберем поведение \(\ln(\cos x)\) при \(x \to 2\pi\):

Когда переменная \(x\) приближается к \(2\pi\), \(\cos x\) стремится к \(\cos(2\pi) = 1\).

\[\lim_{x \to 2\pi} \cos(x) = 1\]

Логарифм от 1 равен нулю:

\[\lim_{x \to 2\pi} \ln(\cos x) = \ln(1) = 0\]

Мы знаем, что \(\cos(x) \approx 1 - \frac{(x - 2\pi)^2}{2}\) при \(x \to 2\pi\). Тогда:

\[\ln(\cos x) \approx \ln\left(1 - \frac{(x - 2\pi)^2}{2}\right)\]

Используем разложение в ряд Тейлора для \(\ln(1 + u) \approx u\), при \(u \to 0\):

\[\ln\left(1 - \frac{(x - 2\pi)^2}{2}\right) \approx -\frac{(x - 2\pi)^2}{2}\]

Итак, для малых \(x - 2\pi\):

\[\ln(\cos x) \sim -\frac{(x - 2\pi)^2}{2}\]

2. Рассмотрим выражение \(\sqrt[3]{1 + \sin(2x) - 1}\):

Сначала упростим: \(\sin(2x)\) при \(x \to 2\pi\) стремится к \(\sin(4\pi) = 0\):

\[\sin(2x) = \sin(2 \cdot 2\pi) = 0\]

Разложим \(\sin(2x)\) в окрестности точки \(x = 2\pi\):

\[\sin(2x) \approx 2(x - 2\pi)\]

Соответственно,

\[1 + \sin(2x) - 1 = \sin(2x) \approx 2(x - 2\pi)\]

Теперь нам нужно вычислить кубический корень:

\[\sqrt[3]{2(x - 2\pi)} \sim (x - 2\pi)^{1/3}\]

3. Сравним порядок убывания функций:

Мы получили, что:

\[\ln(\cos x) \sim -\frac{(x - 2\pi)^2}{2}\]

и

\[\sqrt[3]{1 + \sin(2x) - 1} \sim (x - 2\pi)^{1/3}.\]

Теперь нужно сравнить скорости убывания:

• \((x - 2\pi)^2\) убывает быстрее, чем \((x - 2\pi)^{1/3}\) при \(x \to 2\pi\), поскольку \(2 > \frac{1}{3}\).

Следовательно, \(\ln(\cos x)\) действительно стремится к нулю быстрее, чем \(\sqrt[3]{1 + \sin(2x) - 1}\), что и требовалось доказать.

Ответ:

Мы показали, что:

\[\ln(\cos x) = o\left(\sqrt[3]{1 + \sin(2x) - 1}\right) \quad \text{при} \quad x \to 2\pi.\]