Анализ функций нескольких переменных (исследование на экстремум функций двух переменных)

Предмет: Математика

Раздел: Анализ функций нескольких переменных (исследование на экстремум функций двух переменных)

Задача 1

Дана функция \( f(x,y) = -3x^3 + 9x^2 + y^2 + 6xy - 2y + 3x \). Необходимо исследовать её на локальные экстремумы.

Шаг 1: Найдем частные производные первого порядка

1. Первая частная производная по \( x \):

\[
f_x(x, y) = \frac{\partial}{\partial x} (-3x^3 + 9x^2 + y^2 + 6xy - 2y + 3x)
\]
\[
f_x(x, y) = -9x^2 + 18x + 6y + 3
\]

2. Первая частная производная по \( y \):

\[
f_y(x, y) = \frac{\partial}{\partial y} (-3x^3 + 9x^2 + y^2 + 6xy - 2y + 3x)
\]
\[
f_y(x, y) = 2y + 6x - 2
\]

Шаг 2: Найдем критические точки

Решим систему уравнений:

\[
f_x(x, y) = 0
\]
\[
f_y(x, y) = 0
\]

1. \(-9x^2 + 18x + 6y + 3 = 0\)
2. \(2y + 6x - 2 = 0\)

Из второго уравнения выразим \( y \):

\[
y = 1 - 3x
\]

Подставим \( y = 1 - 3x \) в первое уравнение:

\[
-9x^2 + 18x + 6(1 - 3x) + 3 = 0
\]
\[
-9x^2 + 18x + 6 - 18x + 3 = 0
\]
\[
-9x^2 + 9 = 0
\]
\[
-9x^2 = -9
\]
\[
x^2 = 1
\]
\[
x = 1 \quad \text{или} \quad x = -1
\]

Подставим значения \( x \) обратно:

1. Если \( x = 1 \), то \( y = 1 - 3(1) = -2 \)
2. Если \( x = -1 \), то \( y = 1 - 3(-1) = 4 \)

Итак, критические точки: \( (1, -2) \) и \( (-1, 4) \).

Шаг 3: Используем вторые производные для определения типа критических точек

Найдем вторые частные производные:

1. \( f_{xx}(x, y) = \frac{\partial}{\partial x} (-9x^2 + 18x + 6y + 3) = -18x + 18 \)
2. \( f_{yy}(x, y) = \frac{\partial}{\partial y} (2y + 6x - 2) = 2 \)
3. \( f_{xy}(x, y) = \frac{\partial}{\partial y} (-9x^2 + 18x + 6y + 3) = 6 \)

Для определения типа критических точек вычислим дискриминант \( D \):

\[
D = f_{xx}(x, y)f_{yy}(x, y) - (f_{xy}(x, y))^2
\]
Для точки \( (1, -2) \):
\[
f_{xx}(1, -2) = -18(1) + 18 = 0
\]
\[
f_{yy}(1, -2) = 2
\]
\[
f_{xy}(1, -2) = 6
\]
\[
D = (0)(2) - (6)^2 = 0 - 36 = -36
\]
Так как \( D < 0 \), точка \( (1, -2) \) является седловой точкой.
Для точки \( (-1, 4) \):
\[
f_{xx}(-1, 4) = -18(-1) + 18 = 36
\]
\[
f_{yy}(-1, 4) = 2
\]
\[
f_{xy}(-1, 4) = 6
\]
\[
D = (36)(2) - (6)^2 = 72 - 36 = 36
\]
Так как \( D > 0 \) и \( f_{xx}(-1, 4) > 0 \), то точка \( (-1, 4) \) является точкой минимума.
Подведем итоги: Точка \( (1, -2) \) — седловая точка. Точка \( (-1, 4) \) — точка минимума.