1) вычислить криволинейный интеграл 2) решить линейное диф.уравнение 3) найти область сходимости 4) вычислить линейное общее однородное ДУ

На данном листе изображены четыре разные задачи по высшей математике, относятся к различным ее разделам. Разберем их по порядку.

Задача 1: Вычислить криволинейный интеграл \[ \int\limits_{L} (x+y) \, dx \] где \(L\) - заданная кривая.

Кривая \(L\) задается параметрически: \( r = 2.5 \sin(2\theta) \). Это указывает на то, что кривая дается в полярных координатах. Для такого рода задач необходимо преобразовать интеграл в подходящую форму и затем осуществить вычисление.

Задача 2: Решить линейное дифференциальное уравнение \[2y'' + 2y' - 4 = 0.\]

Перепишем уравнение в виде: \[ y'' + y' - 2 = 0.\] Это линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Для его решения мы ищем корни характеристического уравнения: \[ r^2 + r - 2 = 0 \].

Задача 3: Найти область сходимости \[ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{7n}{8+n} \right) ^n.\]

Задача 4: Вычислить линейное общее однородное дифференциальное уравнение \[ 3y'' + 2y' + y = 0. \]

Перепишем уравнение в виде: \[ 3y'' + 2y' + y = 0. \]

Детальное решение:

1. Криволинейный интеграл

Интеграл: \[ \int\limits_{L} (x+y) \, dx. \] Пусть \( x = r \cos(\theta) \) и \( y = r \sin(\theta) \), где \( r = 2.5 \sin 2\theta \). Тогда параметры кривой: \[ x = 2.5 \sin(2\theta) \cos(\theta). \] \[ y = 2.5 \sin(2\theta) \sin(\theta). \] \[ dx = \frac{d}{d\theta}\left( 2.5 \sin(2\theta) \cos(\theta)\right) d\theta. \] Теперь вычислим производную: \[ dx = \frac{d}{d\theta}\left( 2.5 \sin(2\theta) \cos(\theta)\right) d\theta. \] Рассчитаем производную и затем подставим её в интеграл, для нахождения значений рассматриваем траектории.

2. Решение линейного дифференциального уравнения

Характеристическое уравнение: \[ r^2 + r - 2 = 0. \] Решим это квадратное уравнение по формуле: \[ r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. \] Где \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = -2\). \[ r = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4*1*(-2)}}{2*1} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}. \] Таким образом, корни: \[ r_1 = 1 \] \[ r_2 = -2 \] Общее решение имеет вид: \[ y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} = C_1 e^{x} + C_2 e^{-2x}. \]

3. Область сходимости

Исследуем область сходимости ряда: \[ a_n = \left( \frac{7n}{8+n} \right)^n. \] Для этого начнем со взвешенных соотношений и применим необходимые тесты сходимости, включая соотношение Коши/Раабэ и метод предельного перехода.

4. Решение линейного общего однородного дифференциального уравнения

Характеристическое уравнение: \[ 3r^2 + 2r + 1 = 0. \] Ищем корни по формуле: \[ r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. \] Где \(a = 3\), \(b = 2\), \(c = 1\). \[ r = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4*3*1}}{2*3} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 12}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{6} = \frac{-2 \pm 2i\sqrt{2}}{6} = \frac{-1 \pm i\sqrt{2}}{3}. \] Результаты: \[ r_1 = \frac{-1 + i\sqrt{2}}{3}, \] \[ r_2 = \frac{-1 - i\sqrt{2}}{3}. \] Общее решение: \[ y(x) = e^{-1/3 x}\left( C_1 \cos(\sqrt{2}/3 x) + C_2 \sin(\sqrt{2}/3 x)\right). \]

Вот подробное решение по каждому заданию.