Записать двойственные формулы

Предмет: Математика

Раздел: Логика, математическая логика, булева алгебра

Задание просит нас записать двойственные формулы для двух выражений. Для этого воспользуемся принципом двойственности в булевой алгебре.

Принцип двойственности:

В булевой алгебре двойственная формула для данного выражения получается путём замены:

1. Конъюнкции (логическое умножение, ∧) на дизъюнкцию (логическое сложение, ∨).
2. Дизъюнкции (логическое сложение, ∨) на конъюнкцию (логическое умножение, ∧).
3. Единицы (истины) на ноль (ложь) и наоборот (если они присутствуют в выражении).

Решение:

а) \( x \land (x \lor y) \sim x \)

Здесь конъюнкция (∧) и дизъюнкция (∨) меняются местами.

Двойственная формула: \[ x \lor (x \land y) \sim x \]

б) \( \overline{(x \lor y)} \land \overline{(x \lor y \land z)} \)

Применим принцип двойственности:

• Меняем местами \(\land\) и \(\lor\),
• Оставляем отрицания такими, какие они есть, потому что двойственность на них не влияет.

Итоговые двойственные формулы:

1. \( x \lor (x \land y) \sim x \)
2. \( \overline{(x \land y)} \lor \overline{(x \land y \lor z)} \)

Двойственная формула:

\[ \overline{(x \land y)} \lor \overline{(x \land y \lor z)} \]