Это задание относится к предмету теория голосований, который является частью дисциплины математическая логика или политическая наука (в зависимости от контекста курса). Задание затрагивает критерии выбора победителя в голосовании и включает в себя анализ критериев большинства и критерия Кондорсе.
Давайте подробно разберем задание по шагам:
1. Вопрос: Объясните (докажите), почему любой метод голосования, нарушающий критерий большинства, нарушает также и критерий Кондорсе?
Критерий большинства: Критерий большинства утверждает, что если более 50% голосующих ставят альтернативу \( x \) на первое место, то эта альтернатива должна стать победителем голосования.
Критерий Кондорсе: Победителем по Кондорсе является альтернатива, которая побеждает в попарном сравнении всех остальных кандидатов (т.е., если альтернативу сравнить с каждой другой, то она выиграет у каждой другой).
Теперь рассмотрим, почему любое нарушение критерия большинства автоматически нарушает и критерий Кондорсе.
- Доказательство: Чтобы удовлетворять критерию большинства, альтернатива, которую на первое место поставило более 50% голосующих, должна быть избрана победителем. Любая система защиты критерия большинства должна учитывать мнение большинства. Теперь, если кандидат \( x \) является победителем по большинству, то в попарных сравнениях (характерных для критерия Кондорсе) он всегда должен побеждать. Ведь если более 50% участников предпочитают \( x \), то это большинство побеждает любого другого кандидата в попарных сравнениях. Если метод голосования нарушает критерий большинства (например, альтернатива \( y \) с меньшей поддержкой побеждает), то, соответственно, попарные сравнения не могут также выполняться по правилу Кондорсе. Это значит, что нарушение критерия большинства автоматически приводит к нарушению и критерия Кондорсе.
2. Вопрос: Докажите, что если в голосовании с нечетным числом голосующих не будет победителя по Кондорсе, то в любом рейтинге кандидатов, построенном на основании попарного сравнения, как минимум 2 кандидата займут одно и то же место.
- Доказательство: Предположим, что у нас есть нечетное число голосующих, и в попарных сравнениях нет победителя по Кондорсе (то есть нет настоящего лидера, который побеждает каждого другого участника в попарных сравнениях). В таком случае у нас возникает ситуация циклических предпочтений. Пример циклических предпочтений: Кандидат \( A \) побеждает \( B \) в попарном сравнении, \( B \) побеждает \( C \), а \( C \) побеждает \( A \). Это называется циклом. Поскольку у нас есть цикл, невозможно построить строгий рейтинг, в котором каждый кандидат занимает уникальную позицию. Даже если результаты голосования были бы близки, как минимум два кандидата окажутся на одном и том же месте, так как они «привязываются» между собой в системе, не имея окончательного проигрывшего или победителя в попарных сравнениях. Следовательно, если нет победителя по Кондорсе (что и означает наличие цикличности в попарных сравнениях), то любые два кандидата, участвующие в таком цикле, должны занимать одну и ту же позицию в любом рейтинге. Это происходит потому, что при циклическом предпочтении никакая альтернатива не может быть явно выше другой.
Это задание требует хорошего понимания как критериев большинства, так и критерия Кондорсе, а также умения работать с попарными сравнениями в голосованиях.