Установите соответствие между видом разложения функции

Предмет и раздел:

Данный вопрос относится к математической логике, разделу булевой алгебры и анализа булевых функций.

Пояснение задания:

Функция \( f(x, y, z) = (z \sim x) \to ((\overline{y \lor z}) \oplus x) \) должна быть сравнена с формулами из множества по видам разложения:

1. Разложение по переменной \( x \): Соблюдается, если все аргументы фиксированы, кроме \( x \).
2. Разложение по переменной \( z \): Соблюдается при фиксированных \( x \) и \( y \), а \( z \) — свободна.

Необходимо установить соответствие.

Решение разложения:

Шаг 1. Анализ формулы \( f(x, y, z) \):

1. Распишем функцию по структуре выражения:
   • \( z \sim x \): Эквиваленция переменных \( z \) и \( x \), что равно \( \overline{z \oplus x} \) (отрицание XOR).
   • \( y \lor z \): Логическое "ИЛИ".
   • \( \overline{y \lor z} \): Отрицание результата операции "ИЛИ".
   • \( (\overline{y \lor z}) \oplus x \): Выполняется операция XOR между \( x \) и \( \overline{y \lor z} \).
   • Итоговая формула: \( (z \sim x) \to ((\overline{y \lor z}) \oplus x) \).

Шаг 2. Сравнение с вариантами из множества:

Для быстроты поиска соответствий, пробуем преобразования для формул из набора.

Формула 1:

\[ \overline{y \big((z \sim x) \to (\overline{z \oplus x})\big)} \lor y\big((z \sim x) \to x\big) \]

Образует разложение, зависящее от \( x \), но свободно от \( z \). Подходит для разложения по \(\ x \).

Формула 4:

\[ \overline{x}\overline{y}z \lor \overline{x}y\overline{z} \lor \overline{x}yz \lor x\overline{y}\overline{z} \lor x\overline{y}z \lor xy\overline{z} \lor xyz \]

Ответ:

• По переменной \( x, y \): Формула 1.
• По переменной \( z \): Формула 4.

Полностью развёрнута по всем переменным. Подходит для разложения по \(\ z \).