Составить таблицу истинности сложного логического выражения

Задание: Составить таблицу истинности для сложного логического выражения \( F = (A \lor B) \rightarrow (\neg B \lor C) \).

Предмет: Логика

Шаги решения:

1. Символы и их значения:
   • \( A \), \( B \), \( C \): логические переменные (булевы переменные), каждая из которых может иметь значение либо \( \text{истина} (1) \), либо \( \text{ложь} (0) \).
   • \( \lor \) — дизъюнкция (логическое "или"). Она является истинной, если хотя бы один из операндов истинный.
   • \( \neg \) — отрицание (логическое "не"). Оно меняет значение логического высказывания на противоположное.
   • \( \rightarrow \) — импликация (логическое "если... то"). Импликация ложна только в случае, если первый операнд истинен, а второй ложен. В остальных случаях она истинна.
2. Разбираем выражение на составляющие части:
   \[ F = (A \lor B) \rightarrow (\neg B \lor C) \]
   Мы должны рассчитать каждый компонент выражения по очереди:
   • \( A \lor B \) (дизъюнкция: или A, или B).
   • \( \neg B \) (отрицание B).
   • \( \neg B \lor C \) (дизъюнкция \( \neg B \) и C).
   • \( (A \lor B) \rightarrow (\neg B \lor C) \) (результат импликации между двумя частями).
3. Составляем таблицу истинности: Для трёх переменных \( A \), \( B \), и \( C \), существует \( 2^3 = 8 \) возможных комбинаций их значений.

   №	\( A \)	\( B \)	\( C \)	\( A \lor B \)	\( \neg B \)	\( \neg B \lor C \)	\( (A \lor B) \rightarrow (\neg B \lor C) \)
   1	0	0	0	0	1	1	1
   2	0	0	1	0	1	1	1
   3	0	1	0	1	0	0	0
   4	0	1	1	1	0	1	1
   5	1	0	0	1	1	1	1
   6	1	0	1	1	1	1	1
   7	1	1	0	1	0	0	0
   8	1	1	1	1	0	1	1

4. Пояснения к таблице:
   • Первый столбец: Нумерация строк для удобства.
   • \( A \), \( B \), \( C \): Значения переменных, все возможные их комбинации.
   • \( A \lor B \): Результат дизъюнкции (логическое "или") между \( A \) и \( B \).
   • \( \neg B \): Это отрицание переменной \( B \).
   • \( \neg B \lor C \): Дизъюнкция между \( \neg B \) и \( C \).
   • \( (A \lor B) \rightarrow (\neg B \lor C) \): Импликация между результатом \( A \lor B \) и результатом \( \neg B \lor C \). Импликация ложно только в одном случае: когда первый операнд истинен, а второй ложен.
5. Ответ: Таблица истинности для данного выражения составлена.

Раздел предмета: Булева алгебра, логические выражения и их анализ.