Составить таблицу истинности сложного логического выражения

Задание: Составить таблицу истинности для сложного логического выражения $\text{(}F=(A\vee B)\to (\mathrm{\neg }B\vee C)\text{)}$.

Предмет: Логика

Шаги решения:

1. Символы и их значения:
   • $\text{(}A\text{)}$, $\text{(}B\text{)}$, $\text{(}C\text{)}$: логические переменные (булевы переменные), каждая из которых может иметь значение либо $\text{(}\text{истина}(1)\text{)}$, либо $\text{(}\text{ложь}(0)\text{)}$.
   • $\text{(}\vee \text{)}$ — дизъюнкция (логическое "или"). Она является истинной, если хотя бы один из операндов истинный.
   • $\text{(}\mathrm{\neg }\text{)}$ — отрицание (логическое "не"). Оно меняет значение логического высказывания на противоположное.
   • $\text{(}\to \text{)}$ — импликация (логическое "если... то"). Импликация ложна только в случае, если первый операнд истинен, а второй ложен. В остальных случаях она истинна.
2. Разбираем выражение на составляющие части:
   $\text{[}F=(A\vee B)\to (\mathrm{\neg }B\vee C)\text{]}$
   Мы должны рассчитать каждый компонент выражения по очереди:
   • $\text{(}A\vee B\text{)}$ (дизъюнкция: или A, или B).
   • $\text{(}\mathrm{\neg }B\text{)}$ (отрицание B).
   • $\text{(}\mathrm{\neg }B\vee C\text{)}$ (дизъюнкция $\text{(}\mathrm{\neg }B\text{)}$ и C).
   • $\text{(}(A\vee B)\to (\mathrm{\neg }B\vee C)\text{)}$ (результат импликации между двумя частями).
3. Составляем таблицу истинности: Для трёх переменных $\text{(}A\text{)}$, $\text{(}B\text{)}$, и $\text{(}C\text{)}$, существует $\text{(}{2}^3=8\text{)}$ возможных комбинаций их значений.

   №	$\text{(}A\text{)}$	$\text{(}B\text{)}$	$\text{(}C\text{)}$	$\text{(}A\vee B\text{)}$	$\text{(}\mathrm{\neg }B\text{)}$	$\text{(}\mathrm{\neg }B\vee C\text{)}$	$\text{(}(A\vee B)\to (\mathrm{\neg }B\vee C)\text{)}$
   1	0	0	0	0	1	1	1
   2	0	0	1	0	1	1	1
   3	0	1	0	1	0	0	0
   4	0	1	1	1	0	1	1
   5	1	0	0	1	1	1	1
   6	1	0	1	1	1	1	1
   7	1	1	0	1	0	0	0
   8	1	1	1	1	0	1	1

4. Пояснения к таблице:
   • Первый столбец: Нумерация строк для удобства.
   • $\text{(}A\text{)}$, $\text{(}B\text{)}$, $\text{(}C\text{)}$: Значения переменных, все возможные их комбинации.
   • $\text{(}A\vee B\text{)}$: Результат дизъюнкции (логическое "или") между $\text{(}A\text{)}$ и $\text{(}B\text{)}$.
   • $\text{(}\mathrm{\neg }B\text{)}$: Это отрицание переменной $\text{(}B\text{)}$.
   • $\text{(}\mathrm{\neg }B\vee C\text{)}$: Дизъюнкция между $\text{(}\mathrm{\neg }B\text{)}$ и $\text{(}C\text{)}$.
   • $\text{(}(A\vee B)\to (\mathrm{\neg }B\vee C)\text{)}$: Импликация между результатом $\text{(}A\vee B\text{)}$ и результатом $\text{(}\mathrm{\neg }B\vee C\text{)}$. Импликация ложно только в одном случае: когда первый операнд истинен, а второй ложен.
5. Ответ: Таблица истинности для данного выражения составлена.

Раздел предмета: Булева алгебра, логические выражения и их анализ.