С помощью равносильных преобразований упростить формулу

Предмет: Математическая логика

Раздел: Логические выражения, эквивалентные преобразования

Дана формула: \[ \neg (x \rightarrow y) \vee (\neg x \Rightarrow \neg y) \]

Шаг 1: Преобразование импликации

Импликация \( x \rightarrow y \) эквивалентна \( \neg x \vee y \). Поэтому:

\[\neg (x \rightarrow y) = \neg (\neg x \vee y)\]

Применим закон де Моргана:

\[ \neg (\neg x \vee y) = x \wedge \neg y \]

Теперь формула выглядит так:

\[(x \wedge \neg y) \vee (\neg x \Rightarrow \neg y)\]

Шаг 2: Преобразуем импликацию \( \neg x \Rightarrow \neg y \)

Снова применяем определение импликации. \( \neg x \Rightarrow \neg y \) эквивалентно \( \neg (\neg x) \vee \neg y = x \vee \neg y \). Таким образом, формула превращается в:

\[(x \wedge \neg y) \vee (x \vee \neg y)\]

Шаг 3: Преобразование дизъюнкции и конъюнкции

Теперь нужно упростить выражение. Используем дистрибутивность операции:

\[ (x \wedge \neg y) \vee (x \vee \neg y) \]

Это можно упростить как:

Ответ: Упрощенная форма логического выражения: \[ x \vee \neg y \] Это финальный ответ.

\[ x \vee \neg y \]