С помощью равносильных преобразований доказать тождественную истинность формулы

Предмет: математическая логика, раздел: исчисление высказываний (логика высказываний). Задача заключается в доказательстве тождественной истинности формулы с помощью равносильных преобразований.

Исходная формула:

Напомним основные законы логики высказываний, которые могут быть полезны:

1. Импликация \( p \to q \) можно записать как \( \neg p \lor q \).
2. Законы дистрибутивности, ассоциативности, двойного отрицания и др.

Теперь приступим к решению:

1. Разложим импликации по правилу \( p \to q = \neg p \lor q \):
   • \[ (x \to z) = \neg x \lor z, \]
   • \[ (y \to z) = \neg y \lor z, \]
   • \[ (x \lor y \to z) = \neg(x \lor y) \lor z = (\neg x \land \neg y) \lor z. \]
   Тогда формула принимает вид: \[ (\neg x \lor z) \to ((\neg y \lor z) \to ((\neg x \land \neg y) \lor z)). \]
2. Теперь работаем по тому же принципу для всей оставшейся формулы: Используем \( p \to q = \neg p \lor q \) для следующей импликации: \[ (\neg y \lor z) \to ((\neg x \land \neg y) \lor z) = \neg(\neg y \lor z) \lor ((\neg x \land \neg y) \lor z). \] Теперь можно упростить \( \neg(\neg y \lor z) \): \[ \neg(\neg y \lor z) = \neg\neg y \land \neg z = y \land \neg z. \] Итак, выражение становится: \[ y \land \neg z \lor (\neg x \land \neg y) \lor z. \]
3. Рассмотрим это выражение внимательно: Раскроем скобки и упростим: \[ (y \land \neg z \lor (\neg x \land \neg y) \lor z) = (y \land \neg z) \lor z \lor (\neg x \land \neg y). \] Примем во внимание, что \( (y \land \neg z) \lor z \) всегда будет истинно, так как \( z \) или истинно, или \( y \land \neg z \) будет ложным, если \( z \) истинно. То есть это выражение всегда истинно, независимо от значения \( x \) и \( y \).
4. Подставляем обратно: Теперь наша формула свелась к: \[ (\neg x \lor z) \to \text{истина}. \] Но \( p \to \text{истина} \) всегда истинно, независимо от значения \( p \), поэтому вся формула является тождественно верной.

Ответ: Формула является тождественно истинной.