С помощью равносильных преобразований доказать тождественную истинность формулы

Предмет: математическая логика, раздел: исчисление высказываний (логика высказываний). Задача заключается в доказательстве тождественной истинности формулы с помощью равносильных преобразований.

Исходная формула:

Напомним основные законы логики высказываний, которые могут быть полезны:

1. Импликация $\text{(}p\to q\text{)}$ можно записать как $\text{(}\mathrm{\neg }p\vee q\text{)}$.
2. Законы дистрибутивности, ассоциативности, двойного отрицания и др.

Теперь приступим к решению:

1. Разложим импликации по правилу $\text{(}p\to q=\mathrm{\neg }p\vee q\text{)}$:
   • $\text{[}(x\to z)=\mathrm{\neg }x\vee z,\text{]}$
   • $\text{[}(y\to z)=\mathrm{\neg }y\vee z,\text{]}$
   • $\text{[}(x\vee y\to z)=\mathrm{\neg }(x\vee y)\vee z=(\mathrm{\neg }x\wedge \mathrm{\neg }y)\vee z.\text{]}$
   Тогда формула принимает вид: $\text{[}(\mathrm{\neg }x\vee z)\to ((\mathrm{\neg }y\vee z)\to ((\mathrm{\neg }x\wedge \mathrm{\neg }y)\vee z)).\text{]}$
2. Теперь работаем по тому же принципу для всей оставшейся формулы: Используем $\text{(}p\to q=\mathrm{\neg }p\vee q\text{)}$ для следующей импликации: $\text{[}(\mathrm{\neg }y\vee z)\to ((\mathrm{\neg }x\wedge \mathrm{\neg }y)\vee z)=\mathrm{\neg }(\mathrm{\neg }y\vee z)\vee ((\mathrm{\neg }x\wedge \mathrm{\neg }y)\vee z).\text{]}$ Теперь можно упростить $\text{(}\mathrm{\neg }(\mathrm{\neg }y\vee z)\text{)}$: $\text{[}\mathrm{\neg }(\mathrm{\neg }y\vee z)=\mathrm{\neg }\mathrm{\neg }y\wedge \mathrm{\neg }z=y\wedge \mathrm{\neg }z.\text{]}$ Итак, выражение становится: $\text{[}y\wedge \mathrm{\neg }z\vee (\mathrm{\neg }x\wedge \mathrm{\neg }y)\vee z.\text{]}$
3. Рассмотрим это выражение внимательно: Раскроем скобки и упростим: $\text{[}(y\wedge \mathrm{\neg }z\vee (\mathrm{\neg }x\wedge \mathrm{\neg }y)\vee z)=(y\wedge \mathrm{\neg }z)\vee z\vee (\mathrm{\neg }x\wedge \mathrm{\neg }y).\text{]}$ Примем во внимание, что $\text{(}(y\wedge \mathrm{\neg }z)\vee z\text{)}$ всегда будет истинно, так как $\text{(}z\text{)}$ или истинно, или $\text{(}y\wedge \mathrm{\neg }z\text{)}$ будет ложным, если $\text{(}z\text{)}$ истинно. То есть это выражение всегда истинно, независимо от значения $\text{(}x\text{)}$ и $\text{(}y\text{)}$.
4. Подставляем обратно: Теперь наша формула свелась к: $\text{[}(\mathrm{\neg }x\vee z)\to \text{истина}.\text{]}$ Но $\text{(}p\to \text{истина}\text{)}$ всегда истинно, независимо от значения $\text{(}p\text{)}$, поэтому вся формула является тождественно верной.

Ответ: Формула является тождественно истинной.