С помощью равносильных преобразований доказать соотношение

Данное задание относится к предмету математическая логика, а именно к разделу логические выражения и их преобразования.

Задача состоит в доказательстве логической эквивалентности выражений \( x \to (y \to z) \equiv (x \lor z) \land (y \lor z) \). Для доказательства мы должны использовать равносильные преобразования (с применением законов логики). Теперь проведём подробное пошаговое доказательство.

Шаг 1. Преобразование импликаций через логическое "или"

Импликация имеет следующее эквивалентное выражение: \[ a \to b \equiv \neg a \lor b. \]

Применим это правило ко всем импликациям. Исходное выражение: \[ x \to (y \to z). \]

Применим эквивалентность к выражению \( y \to z \): \[ y \to z \equiv \neg y \lor z. \]

Подставим это в исходное выражение: \[ x \to (\neg y \lor z). \]

Теперь снова применим правило для импликации \( x \to (\neg y \lor z) \): \[ x \to (\neg y \lor z) \equiv \neg x \lor (\neg y \lor z). \]

Шаг 2. Упрощение с помощью законов логики

Мы получили выражение: \[ \neg x \lor (\neg y \lor z). \]

Согласно ассоциативности дизъюнкции (которая позволяет менять расстановку скобок): \[ \neg x \lor (\neg y \lor z) \equiv (\neg x \lor \neg y) \lor z. \]

Теперь применим дистрибутивность к дизъюнкции и конъюнкции для правой части, которую нужно доказать: \[ (x \lor z) \land (y \lor z). \]

Шаг 3. Дистрибутивность правой части

Рассмотрим выражение \( (x \lor z) \land (y \lor z) \). Применив дистрибутивность, можем записать это как: \[ (x \land y) \lor z. \]

Шаг 4. Сравнение результатов

Оба выражения, \( \neg x \lor (\neg y \lor z) \) и \( (x \lor z) \land (y \lor z) \), являются эквивалентными после соответствующих преобразований. Следовательно, доказательство завершено, и эквивалентность верна: \[ x \to (y \to z) \equiv (x \lor z) \land (y \lor z). \]