Проверить монотонность функции

Определение предмета и раздела

Задание связано с логической функцией и относится к предмету математика, раздел математическая логика и булева алгебра. Конкретная задача заключается в проверке монотонности логической функции.

Решение

Чтобы проверить монотонность логической функции, сначала разберёмся с тем, что она собой представляет. У нас логическая функция вида: \[ ((x + y) \cdot \neg x) \to y \] где:

• \( + \) — это логическая операция ИЛИ (дизъюнкция),
• \( \neg x \) — это логическое отрицание \(x\) (не \(x\)),
• \( \cdot \) — это логическая операция И (конъюнкция),
• \( \to \) — это логическая импликация (если ... то).

Задача состоит в том, чтобы выяснить, является ли данная функция монотонной, а для этого надо проверить, сохраняются ли значения функции при увеличении (или неизменности) значений переменных.

Определение монотонности

Логическая функция называется монотонной, если при увеличении значений входных переменных (в смысле булевой алгебры: 0 → 1) значение функции не уменьшается. Иными словами, если при увеличении какого-либо входа значения функции либо остаются теми же, либо увеличиваются, то функция монотонна.

Построим таблицу истинности

Для проверки монотонности логической функции построим её таблицу истинности.

1. Запишем все возможные комбинации для переменных \(x\) и \(y\).
2. Последовательно рассчитаем значения каждой операции, начиная с самых "внутренних" выражений.

Анализ таблицы

Теперь давайте проанализируем полученные данные:

• В случаях, когда \(x \rightarrow 0 \to 1\), но \(y\) не меняется (скажем, строки 1 → 3 и 2 → 4), мы видим, что значения функции не уменьшаются (во всех строках значение функции равно 1).
• Также проверим изменения по \(y\), при фиксированном значении \(x\). Во всех строках видно, что при увеличении значения \(y\) с 0 на 1 функция ведёт себя ожидаемо, и также не изменяет или увеличивает своё значение.

Вывод

Так как функция при увеличении значений входных переменных не уменьшает своё значение, то она является монотонной.

Ответ:

Функция \(((x + y) \cdot \neg x) \to y\) является монотонной.