Привести заданную формулу к дизъюнктивной нормальной форме и конъюнктивной нормальной форме

Условие:

Ответ

Решение:

### Предмет: **Математическая логика** (в разделе логических выражений) ### Задание: Привести заданную формулу к **дизъюнктивной нормальной форме** (ДНФ) и **конъюнктивной нормальной форме** (КНФ). Формула: \[ ¬((¬A ∨ A ∧ B ∧ ¬C) ∨ ¬(¬B ∨ C) ∧ (¬A ∨ B)) \] Для выполнения данного задания воспользуемся правилами булевой алгебры, включая **закон де Моргана** и правила **распределительности**. ### 1. Приведение к дизъюнктивной нормальной форме (ДНФ) Первый шаг — упростим формулу, используя **закон де Моргана**. **Формула**: \[ ¬((¬A ∨ A ∧ B ∧ ¬C) ∨ ¬(¬B ∨ C) ∧ (¬A ∨ B)) \] #### 1.1 Применим закон де Моргана — отрицание дизъюнкции и конъюнкции. Начнем с применения закона де Моргана, который говорит, что ¬(A ∨ B) эквивалентно ¬A ∧ ¬B. Таким образом, мы инвертируем каждый компонент под отрицанием: \[ ¬(X ∨ Y) = ¬X ∧ ¬Y \] Применим это к главной дизъюнкции: \[ ¬((¬A ∨ A ∧ B ∧ ¬C) ∨ (¬(¬B ∨ C) ∧ (¬A ∨ B))) = ¬(¬A ∨ A ∧ B ∧ ¬C) ∧ ¬(¬(¬B ∨ C) ∧ (¬A ∨ B)) \] #### 1.2 Упростим первую часть. Теперь применим закон де Моргана к каждой части отдельно. **Первая часть**: ¬(¬A ∨ A ∧ B ∧ ¬C) Применим закон де Моргана снова: \[ ¬(¬A ∨ A ∧ B ∧ ¬C) = ¬(¬A) ∧ ¬(A ∧ B ∧ ¬C) \] \[ ¬(¬A) = A \] Таким образом, это упростилось до: \[ A ∧ ¬(A ∧ B ∧ ¬C) \] Теперь упростим вторую часть: \[ ¬(A ∧ B ∧ ¬C) = ¬A ∨ ¬B ∨ C \] Итак, первая часть формулы упростилась до: \[ A ∧ (¬A ∨ ¬B ∨ C) \] #### 1.3 Упростим вторую часть. **Вторая часть формулы**: ¬(¬(¬B ∨ C) ∧ (¬A ∨ B)) Применим закон де Моргана к этой части: \[ ¬(¬(¬B ∨ C) ∧ (¬A ∨ B)) = ¬(¬(¬B ∨ C)) ∨ ¬(¬A ∨ B) \] Теперь воспользуемся законом двойного отрицания: \[ ¬(¬(¬B ∨ C)) = ¬B ∨ C \] И это упростится до: \[ (¬B ∨ C) ∨ ¬(¬A ∨ B) \] Теперь упростим последнюю часть: \[ ¬(¬A ∨ B) = A ∧ ¬B \] Итак, вторая часть формулы упростилась до: \[ (¬B ∨ C) ∨ (A ∧ ¬B) \] #### 1.4 Объединение полученных частей. Наша полная выраженная формула теперь будет: \[ (A ∧ (¬A ∨ ¬B ∨ C)) ∧ ((¬B ∨ C) ∨ (A ∧ ¬B)) \] Эта формула представляет собой дизъюнктивный набор элементарных дизъюнкций, в которых переменные объединяются через дизъюнкцию (операция "∨"), а дальше их результаты соединяются через конъюнкцию (операция "∧"). ### 2. Приведение к конъюнктивной нормальной форме (КНФ) Приведение к **КНФ** построено на преобразовании выражений к следующим структурам: формула должна быть набором дизъюнкций, соединенных через конъюнкции. Для этого нужно применить **дистрибутивность**, пытаясь выразить это как набор дизъюнктивных литералов, соединенных через конъюнкцию. Как формула уже сложна, мы можем это преобразование выполнять чуть развернутее: \[ (A ∧ (¬A ∨ ¬B ∨ C)) ∧ ((¬B ∨ C) ∨ (A ∧ ¬B)) \] Здесь уже вся структура будет задействована