Приведение логической формулы к Совершенной Конъюнктивной Нормальной Форме (СКНФ)

Это задание относится к предмету "Математическая логика" или "Логика в информатике". Конкретно в данном вопросе речь идет о приведении логической формулы к Совершенной Конъюнктивной Нормальной Форме (СКНФ).

Задана формула: ((x → y) ~ (y → x)) ∧ z

Наша цель — привести эту формулу к СКНФ.

ШАГ 1: Преобразуем импликации ( → )

Импликация \( p \rightarrow q \) равносильна \( \neg p \lor q \). Поэтому:

\( x \rightarrow y = \neg x \lor y \)

\( y \rightarrow x = \neg y \lor x \)

Подставим это в формулу:

\[ ((\neg x \lor y) ~ (\neg y \lor x)) \land z \]

ШАГ 2: Преобразуем эквиваленцию (~)

Эквиваленция \( p ~ q \) равносильна \( (p \land q) \lor (\neg p \land \neg q) \).

Пусть \( p = \neg x \lor y \) и \( q = \neg y \lor x \). Тогда:

\[ ((\neg x \lor y) \land (\neg y \lor x)) \lor (\neg (\neg x \lor y) \land \neg (\neg y \lor x)) \]

ШАГ 3: Упрощаем полученную формулу

Применим законы де Моргана к отрицаниям:

\[ \neg (\neg x \lor y) = \neg \neg x \land \neg y = x \land \neg y \]

\[ \neg (\neg y \lor x) = \neg \neg y \land \neg x = y \land \neg x \]

Теперь имеем:

\[ ((\neg x \lor y) \land (\neg y \lor x)) \lor ((x \land \neg y) \land (y \land \neg x)) \]

Второе выражение \( (x \land \neg y) \land (y \land \neg x) \) можно сразу упростить до False, так как одновременно \( x \land \neg x \) и \( y \land \neg y \) не может быть истинно.

Остается:

\[ (\neg x \lor y) \land (\neg y \lor x) \]

ШАГ 4: Добавляем \(\land z\) и окончательный результат

Теперь дополним исходное условие еще и переменной \( z \):

\[ (\neg x \lor y) \land (\neg y \lor x) \land z \]

Ответ

\( (\neg x \lor y) \land (\neg y \lor x) \land z \)