Построить таблицу истинности для данного логического выражения

Определение предмета задачи: Это задание по математической логике, а именно по разделу логических выражений и их упрощения.

Задание: Рассмотрим данное логическое выражение: \[ F = (\neg A \rightarrow C) \land (B \land \neg C \lor A \land B) \]

Задача состоит из трёх частей:

1. Построить таблицу истинности для данного логического выражения.
2. Упростить выражение с помощью равносильных преобразований.
3. Проверить результат через построение таблицы истинности.

1. Построение таблицы истинности.

Для начала перепишем выражение в более удобочитаемой форме:

\[ F = (\neg A \rightarrow C) \land (B \land \neg C \lor A \land B) \]

Мы будем использовать шесть переменных: \( A \), \( B \), \( C \), \(\neg A\), \(\neg C\), и заключительное выражение \( F \).

Чтобы построить таблицу истинности, нужно перечислить все возможные комбинации значений переменных \( A \), \( B \) и \( C \). Каждая из этих переменных может принимать два значения: \( 0 \) (ложь) или \( 1 \) (истина).

Таблица истинности будет иметь 8 строк (2³ возможных комбинаций для трёх переменных).

Как рассчитывались промежуточные столбцы:

1. \( \neg A \) — это логическое отрицание \( A \). Если \( A = 0 \), то \( \neg A = 1 \), и наоборот.
2. \( \neg C \) — аналогично, логическое отрицание \( C \).
3. \( \neg A \rightarrow C \) — это импликация: если \( \neg A = 1 \), то значение выражения равно \( C \), если \( \neg A = 0 \), то выражение всегда истинно (\( 1 \)).
4. \( B \land \neg C \) — логическая конъюнкция (и), истина только тогда, когда оба операнда равны 1.
5. \( A \land B \) — также конъюнкция, которая истинна, если и \( A \) и \( B \) равны 1.
6. \( B \land \neg C \lor A \land B \) — дизъюнкция (или), истинно, если хотя бы одно из подвыражений истинно.
7. \( F \) — это итоговая конъюнкция: \((\neg A \rightarrow C) \land (B \land \neg C \lor A \land B)\). Выражение истинно, только если обе составляющие истинны.

2. Упрощение высказывания.

Попробуем упростить исходное выражение \( F \), используя законы логики:

\[ F = (\neg A \rightarrow C) \land (B \land \neg C \lor A \land B) \]

Шаг 1. Упрощение импликации.

Импликацию \( \neg A \rightarrow C \) можно записать через дизъюнкцию:

\[ \neg A \rightarrow C \equiv A \lor C \]

Следовательно, исходное выражение примет вид:

\[ F = (A \lor C) \land (B \land \neg C \lor A \land B) \]

Шаг 2. Раскроем скобки во втором терме:

Используем дистрибутивность \( B \land \neg C \lor A \land B \equiv B \land (\neg C \lor A) \):

\[ F = (A \lor C) \land B \land (\neg C \lor A) \]

Шаг 3. Применение дистрибутивного закона.

Теперь можем увидеть, что оба выражения \( A \lor C \) и \( \neg C \lor A \) входят в конъюнкцию с \( B \). Оставляем:

Шаг 4. Исправление логических ошибок.

\( F = B \land (A \lor (\neg C \land C)) \)