Логические выражения и их упрощение

Предмет: Математическая логика

Раздел: Логические выражения и их упрощение

Рассмотрим упрощение данных логических выражений:

Задание 37

(\overline{X} \land \overline{Y} \lor Z) \rightarrow (Z \land \overline{Y})

Шаги упрощения:

1. Используем определение импликации:
   A \rightarrow B \equiv \overline{A} \lor B
   Тогда:
   \overline{(\overline{X} \land \overline{Y} \lor Z)} \lor (Z \land \overline{Y})
2. Применяем закон де Моргана:
   \overline{(\overline{X} \land \overline{Y}) \lor Z} = (\overline{\overline{X} \land \overline{Y}}) \land \overline{Z} = (X \lor Y) \land \overline{Z}
   Тогда выражение принимает вид:
   ((X \lor Y) \land \overline{Z}) \lor (Z \land \overline{Y})
3. Раскрываем скобки:
   (X \lor Y) \land \overline{Z} \lor Z \land \overline{Y}
4. Упрощаем:
   (X \land \overline{Z}) \lor (Y \land \overline{Z}) \lor (Z \land \overline{Y})

Задание 38

((A \rightarrow B) \rightarrow A) \land \overline{A}

Шаги упрощения:

1. Используем определение импликации:
   A \rightarrow B \equiv \overline{A} \lor B
   Тогда:
   (\overline{(\overline{A} \lor B)} \lor A) \land \overline{A}
2. Применяем закон де Моргана:
   \overline{\overline{A} \lor B} = A \land \overline{B}
   Тогда выражение принимает вид:
   ((A \land \overline{B}) \lor A) \land \overline{A}
3. Раскрываем скобки:
   (A \lor A) \land (\overline{B} \lor A) \land \overline{A}
4. Упрощаем:
   A \land \overline{A} = 0
   Итоговый результат:
   0

Задание 39

P \rightarrow (Q \rightarrow P \land Q)

Шаги упрощения:

1. Используем определение импликации:
   P \rightarrow (Q \rightarrow (P \land Q)) \equiv \overline{P} \lor (\overline{Q} \lor (P \land Q))
2. Упрощаем:
   \overline{P} \lor \overline{Q} \lor P \land Q
3. Применяем дистрибутивность:
   (\overline{P} \lor \overline{Q}) \lor (P \land Q)
4. Упрощаем:
   \overline{P} \lor \overline{Q} \lor P \land Q
   Это тождественно истинно, так как всегда выполняется.

Задание 40

\overline{Q} \land P \land (P \rightarrow Q)

Шаги упрощения:

1. Используем определение импликации:
   P \rightarrow Q \equiv \overline{P} \lor Q
   Тогда:
   \overline{Q} \land P \land (\overline{P} \lor Q)
2. Раскрываем скобки:
   (\overline{Q} \land P) \land (\overline{P} \lor Q)
3. Применяем дистрибутивность:
   (\overline{Q} \land P \land \overline{P}) \lor (\overline{Q} \land P \land Q)
4. Учитывая, что P \land \overline{P} = 0, остается:
   \overline{Q} \land P \land Q
5. Так как \overline{Q} \land Q = 0, итоговый результат:
   0

Итоговые упрощенные выражения:

1. (X \land \overline{Z}) \lor (Y \land \overline{Z}) \lor (Z \land \overline{Y})
2. 0
3. \text{тождественно истинно}
4. 0