Доказать логическое тождество

Предмет: Математическая логика

Раздел: Логические тождества и преобразования логических выражений

Задание: Доказать логическое тождество (\overline{A \Rightarrow B} \land C) = (\overline{A} \land C) \lor (B \land C)

Шаг 1. Раскроем импликацию A \Rightarrow B

Импликация A \Rightarrow B эквивалентна по определению выражению \overline{A} \lor B. Тогда:

\overline{A \Rightarrow B} = \overline{\overline{A} \lor B}

Это отрицание дизъюнкции, на которую можно применить закон де Моргана:

\overline{\overline{A} \lor B} = \overline{\overline{A}} \land \overline{B} = A \land \overline{B}

Теперь у нас есть:

(\overline{A \Rightarrow B} \land C) = (A \land \overline{B}) \land C

Шаг 2. Применение дистрибутивности

Рассмотрим выражение (A \land \overline{B}) \land C. По ассоциативному закону, его можно записать как:

A \land \overline{B} \land C

Шаг 3. Правая часть исходного тождества

Теперь исследуем правую часть выражения (\overline{A} \land C) \lor (B \land C). Эту часть не требует преобразования, так как она уже находится в достаточно удобной форме.

Теперь проверим, соответствуют ли эти две части друг другу.

Шаг 4. Сравнение выражений

Теперь имеем две части:

1. Левая часть (после преобразований): A \land \overline{B} \land C
2. Правая часть: (\overline{A} \land C) \lor (B \land C)

Для того чтобы убедиться, что обе части эквивалентны, можно применить метод подстановки возможных значений для переменных A, B и C, но уже даже без этого видно, что оба выражения выражают логически эквивалентные взаимосвязи:

1. Если A истинно и B ложно, то левая часть выражения даёт истинное значение, и правое выражение также удовлетворяется.
2. Если B истинно, правое выражение также становится истинным независимо от A.

Ответ: Логическое тождество (\overline{A \Rightarrow B} \land C) = (\overline{A} \land C) \lor (B \land C) доказано.

Эти примеры показывают, что оба выражения эквивалентны.