Решить неравенство

Предмет: Алгебра
Раздел: Показательные неравенства

Задание:
Решить неравенство:
9^x + 27 < 12 \cdot 3^x

Шаг 1: Представим все числа как степени числа 3

Запишем:

• 9^x = (3^2)^x = 3^{2x}
• 27 = 3^3
• 12 \cdot 3^x оставляем без изменений

Подставим в неравенство:

3^{2x} + 3^3 < 12 \cdot 3^x

3^{2x} + 27 < 12 \cdot 3^x

Шаг 2: Введем замену

Обозначим y = 3^x, тогда 3^{2x} = y^2.

Подставим:

y^2 + 27 < 12y

Шаг 3: Переносим все в одну часть

y^2 - 12y + 27 < 0

Решим квадратное неравенство.

Найдём корни квадратного уравнения:

y^2 - 12y + 27 = 0

Дискриминант:

D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27 = 144 - 108 = 36

Корни:

y_1 = \frac{12 - \sqrt{36}}{2} = \frac{12 - 6}{2} = 3
y_2 = \frac{12 + \sqrt{36}}{2} = \frac{12 + 6}{2} = 9

Шаг 4: Решаем неравенство

y^2 - 12y + 27 < 0 — это квадратный трёхчлен, ветви параболы вверх, значит выражение меньше нуля между корнями:

3 < y < 9

Шаг 5: Возвращаемся к переменной x

Напомним, что y = 3^x. Тогда:

3 < 3^x < 9

Решим двойное неравенство:

3 < 3^x < 9
Вспомним, что 3 = 3^1 и 9 = 3^2, тогда:

1 < x < 2

✅ Ответ:

1 < x < 2