Найти множество значений функции на множестве решений неравенства

Предмет: Математический анализ

Раздел: Логарифмические функции и неравенства

Задание: Найти множество значений функции \( y = \log_{\frac{1}{2}}(x+3) \) на множестве решений неравенства \( |x + 2| < 1 \).

Шаг 1. Решение неравенства \( |x + 2| < 1 \)

Решим данное неравенство:

\[ |x + 2| < 1 \]

Оно означает, что расстояние между \( x+2 \) и 0 меньше 1. Это можно преобразовать в двойное неравенство:

\[ -1 < x + 2 < 1 \]

Теперь вычтем 2 из всех частей неравенства:

\[ -1 - 2 < x < 1 - 2 \]

\[ -3 < x < -1 \]

Значит, область определения переменной \( x \) — это интервал \( (-3; -1) \).

Шаг 2: Найдём область определения функции

Теперь рассмотрим функцию \( y = \log_{\frac{1}{2}}(x+3) \). Для существования логарифма аргумент \( x + 3 \) должен быть положительным:

\[ x + 3 > 0 \]

Отсюда:

\[ x > -3 \]

Мы получили условие \( x > -3 \), которое совместно с решением неравенства \( (-3; -1) \) не вносит никаких изменений в область определения, так как \( x = -3 \) исключается. Следовательно, область определения функции также остаётся как \( (-3; -1) \).

Шаг 3: Найдём множество значений функции

Теперь, зная, что \( x \) принадлежит интервалу \( (-3; -1) \), рассмотрим поведение функции \( y = \log_{\frac{1}{2}} (x + 3) \).

1. Если \( x = -3 + 0 \), то \( y \to -\infty \), так как логарифм с основанием \( \frac{1}{2} \) обращается в \( -\infty \) при приближении аргумента к 0 справа.
2. Если \( x = -1 \), то \( y = \log_{\frac{1}{2}} (2) = -1 \), так как \( \log_{\frac{1}{2}} (2) = -1 \) по определению логарифма.

Поскольку функция \( \log_{\frac{1}{2}}(x+3) \) убывающая, значения будут изменяться в интервале от \( -\infty \) до \( -1 \).

Таким образом, множество значений функции:

\[ y \in (-\infty; -1] \]

Ответ:

Множество значений функции \( y = \log_{\frac{1}{2}}(x+3) \) на множестве решений неравенства \( (-3; -1) \) равно \( (-\infty; -1] \).