Найти область определения

Это задание относится к предмету математика, раздел логарифмические функции, более точно, к области определения логарифмических выражений. Наша задача — найти область определения функции: y = \log_{0.2}\left( \log_{0.2}(x) - 1 \right)^2.

Шаг 1: Общие правила

Область определения функции — это набор значений x, при которых выражение, из которого построена функция, имеет смысл. Поскольку функция основана на логарифме, нужно вспомнить основное правило:

Логарифм \log_b(a) определён, когда:

1. Основание b удовлетворяет условию 0 < b \neq 1.
2. Аргумент внутри логарифма a должен быть строго больше нуля: a > 0.

Таким образом, проверяем условия для каждого из логарифмов.

Шаг 2: Определение логарифма \log_{0.2}( \ldots )^2

У нас имеется выражение: \log_{0.2} \left( \log_{0.2}(x) - 1 \right)^2. Во-первых, логарифм самого внешнего выражения работает корректно, если его аргумент \left( \log_{0.2}(x) - 1 \right)^2 > 0. Это очевидно всегда так, потому что квадрат любого числа положителен (за исключением нуля). Однако аргумент не может быть равен нулю, так как логарифм не определён для нуля. Таким образом:

\log_{0.2}(x) - 1 \neq 0. Решаем это неравенство: \log_{0.2}(x) = 1.

x = 0.2^1 = 0.2. Следовательно, \log_{0.2}(x) - 1 = 0 при x = 0.2. А это значение нам не подойдёт, так как на этом x выражение равняется нулю, а логарифм от нуля не определён.

Шаг 3: Внутренний логарифм

Теперь нужно определить, когда выражение \log_{0.2}(x) определено.

1. \log_{0.2}(x) определён, если x > 0, так как аргумент логарифма должен быть положительным.
2. Мы также выяснили, что \log_{0.2}(x) не должен быть равен 1, то есть x \neq 0.2.

Ответ:

Область определения функции: x > 0 \quad \text{и} \quad x \neq 0.2. Или в виде интервала: (0; 0.2) \cup (0.2; +\infty).