Задача: выбрать задачу линейного программирования, составленную для нахождения оптимальной стратегии игрока A

Предмет: Математика
Раздел: Линейное программирование, теория игр

Дано: матричная игра с матрицей выигрышей игрока A

 P = \begin{pmatrix} 4 & 2 \ 3 & 8 \end{pmatrix} 

Задача: выбрать задачу линейного программирования, составленную для нахождения оптимальной стратегии игрока A.

Объяснение:

Для игрока A (строки матрицы) задача нахождения оптимальной смешанной стратегии сводится к решению задачи линейного программирования следующего вида:

Пусть x_1, x_2 — вероятности выбора первой и второй стратегии игроком A, тогда:

• x_1 \geq 0, \quad x_2 \geq 0
• x_1 + x_2 = 1 (сумма вероятностей равна 1)

Оптимальная стратегия максимизирует минимальный выигрыш игрока A, то есть:

 \max z, \quad \text{где} \quad z \leq 4x_1 + 3x_2, \quad z \leq 2x_1 + 8x_2 

Перепишем с неравенствами:

 4x_1 + 3x_2 \geq z \ 2x_1 + 8x_2 \geq z 

Чтобы избавиться от переменной z, можно переписать задачу в виде:

 \max z \ \text{при условиях} \ 4x_1 + 3x_2 \geq z \ 2x_1 + 8x_2 \geq z \ x_1 + x_2 = 1 \ x_1, x_2 \geq 0 

Для удобства задачи линейного программирования часто записывают в следующем виде:

Введем новую переменную z = x_1 + x_2, тогда задача сводится к:

 \min z = x_1 + x_2 \ \text{при условиях} \ 4x_1 + 3x_2 \geq 1 \ 2x_1 + 8x_2 \geq 1 \ x_1, x_2 \geq 0 

Сравним с вариантами из задания:

• Вариант 2 совпадает с этой формулировкой:

 \begin{cases} 4x_1 + 3x_2 \geq 1, \ 2x_1 + 8x_2 \geq 1, \ x_1 \geq 0, x_2 \geq 0, \ z = x_1 + x_2 \to \min \end{cases} 

Ответ: правильный вариант — 2.

В вашем задании выбран вариант 3, который не соответствует правильной постановке задачи.

Итог:
Правильный ответ — 2.