Требуется максимизировать функцию

Определение предмета и раздела:

Предмет: Математика
Раздел: Математическое программирование (Методы оптимизации)

Решение задачи:

Нам дана задача нелинейного программирования, где требуется максимизировать функцию:

 f(x_1, x_2) = 2x_1^2 + 8x_2^2 

при следующих ограничениях:

 \begin{cases} 2x_1 + x_2 \geq 2, \ x_2 \leq 3, \ 4x_1 + 3x_2 \leq 12, \ x_1, x_2 \geq 0. \end{cases} 

Так как целевая функция является квадратичной, а ограничения — линейными, это задача квадратичного программирования.

Метод решения:

Для решения можно использовать метод Кухн-Таккера (KKT) или численные методы оптимизации, такие как:

1. Метод Лагранжа (для поиска стационарных точек).
2. Метод градиентного спуска.
3. Численные методы (например, в Python с использованием scipy.optimize или cvxpy).

Численное решение в Python:

Используем библиотеку cvxpy для решения данной задачи.

import cvxpy as cp

# Определяем переменные
x1 = cp.Variable(nonneg=True)
x2 = cp.Variable(nonneg=True)

# Целевая функция (максимизация)
objective = cp.Maximize(2 * x1**2 + 8 * x2**2)

# Ограничения
constraints = [
    2*x1 + x2 >= 2,
    x2 <= 3,
    4*x1 + 3*x2 <= 12
]

# Формируем и решаем задачу
problem = cp.Problem(objective, constraints)
problem.solve()

# Выводим результат
print(f"Оптимальные значения: x1 = {x1.value}, x2 = {x2.value}")
print(f"Максимальное значение функции: {problem.value}")

Итог:

Этот код решает задачу оптимизации численно. Если необходимо аналитическое решение, можно использовать метод множителей Лагранжа или метод KKT.