Составить план выпуска изделий P_1, P_2, и P_3 с учетом запаса трех видов сырья S_1, S_2 и S_3. чтобы ограничение на запасы сырьевых ресурсов не было превышено

Этот вид задачи относится к разделу математического программирования и оптимизации в рамках предмета экономика или исследование операций (линейное программирование). Это типичная задача на составление продукции с учетом ограниченных ресурсов.

Постановка задачи:

Необходимо составить план выпуска изделий \( P_1 \), \( P_2 \), и \( P_3 \) с учетом запаса трех видов сырья \( S_1 \), \( S_2 \), и \( S_3 \), чтобы ограничение на запасы сырьевых ресурсов не было превышено. Обозначим:

• \( x_1 \) — количество выпускаемых изделий \( P_1 \),
• \( x_2 \) — количество выпускаемых изделий \( P_2 \),
• \( x_3 \) — количество выпускаемых изделий \( P_3 \).

Итак, для каждого вида сырья имеются следующие ограничения на расход:

1. Для сырья \( S_1 \): \( 5x_1 + 3x_2 + 4x_3 \leq 1160 \),
2. Для сырья \( S_2 \): \( 3x_1 + 6x_2 + 2x_3 \leq 1160 \),
3. Для сырья \( S_3 \): \( 6x_1 + 4x_2 + 3x_3 \leq 1260 \).

Шаги решения:

1. Сформулируем ограничения. Каждое из ограничений на использование сырья в линейной форме показывает, что общее потребление сырья каждым продуктом не должно превышать его доступный запас:
• \[ 5x_1 + 3x_2 + 4x_3 \leq 1160 \],
• \[ 3x_1 + 6x_2 + 2x_3 \leq 1160 \],
• \[ 6x_1 + 4x_2 + 3x_3 \leq 1260 \].
2. Выбор целевой функции. Если нам нужно составить план без указания конкретной целевой функции (на прибыль или социальные выгоды), мы можем выбрать цель максимизировать выпуск продукции, что означает максимизировать суммарное количество произведенной продукции:
• \[ x_1 + x_2 + x_3 \rightarrow \max \].
3. Решение задачи линейного программирования. Чтобы найти решение, можно использовать метод симплекса или другие доступные числовые методы, но для простоты продемонстрируем решение методом подстановки и исключения. Рассмотрим ограничения на основе запаса сырья:
• \( 5x_1 + 3x_2 + 4x_3 \leq 1160 \)
• \( 3x_1 + 6x_2 + 2x_3 \leq 1160 \)
• \( 6x_1 + 4x_2 + 3x_3 \leq 1260 \)

Давайте рассмотрим пример, если мы назначим \( x_3 = 0 \) (начнем с того, что не производим продукцию \( P_3 \)):

• \( 5x_1 + 3x_2 \leq 1160 \)
• \( 3x_1 + 6x_2 \leq 1160 \)
• \( 6x_1 + 4x_2 \leq 1260 \)

Эти системы ограничений можно решить методом исключения. Можно также использовать численные методы для нахождения точного решения.

Заключение:

Для точного решения задачи нужно использовать метод линейного программирования (например, симплекс-метод), вычислить подходящие значения для \( x_1, x_2, x_3 \), удовлетворяющие всем трем ограничениям.