Составить математическую модель для определения числа скорых и пассажирских поездов, при которых число перевозимых пассажиров достигает максимума

Предмет: Математика
Раздел: Линейное программирование, оптимизация

Дано:
Число N = 13.

Из пункта A в пункт B ежедневно отправляются скорые и пассажирские поезда. В таблице указан парк вагонов различных типов и вместимость вагонов.

Требуется составить математическую модель для определения числа скорых и пассажирских поездов, при которых число перевозимых пассажиров достигает максимума.

Обозначим переменные:
x — число скорых поездов,
y — число пассажирских поездов.

Данные из таблицы:

Целевая функция — максимизация общего числа пассажиров:

 \text{Максимизировать } Z = x \cdot (5 \cdot 71 + 6 \cdot 53 + 3 \cdot 45) + y \cdot (8 \cdot 71 + 4 \cdot 53 + 1 \cdot 45) 

Посчитаем коэффициенты:

Для скорого поезда:
5 \cdot 71 = 355
6 \cdot 53 = 318
3 \cdot 45 = 135
Итого: 355 + 318 + 135 = 808

Для пассажирского поезда:
8 \cdot 71 = 568
4 \cdot 53 = 212
1 \cdot 45 = 45
Итого: 568 + 212 + 45 = 825

Итог:

 Z = 808x + 825y \rightarrow \max 

Ограничения по парку вагонов:

Количество вагонов каждого типа, используемых в поездах, не должно превышать их наличного парка.

1. Багажные вагоны:
   x + y \leq 12

2. Почтовые вагоны:
   x \leq 8 (пассажирские поезда почтовых вагонов не имеют)

3. Плацкартные вагоны:
   5x + 8y \leq 81

4. Купейные вагоны:
   6x + 4y \leq 70

5. СВ вагоны:
   3x + y \leq 26

Неотрицательность переменных:

x \geq 0, \quad y \geq 0

Итоговая математическая модель:

 \begin{cases} \text{Максимизировать } Z = 808x + 825y \ x + y \leq 12 \ x \leq 8 \ 5x + 8y \leq 81 \ 6x + 4y \leq 70 \ 3x + y \leq 26 \ x \geq 0, \quad y \geq 0 \end{cases} 

Если нужно, могу помочь решить эту задачу с помощью метода графического анализа или симплекс-метода. Хотите?