Решить задачу линейного программирования симплекс-методом

Задача относится к области линейного программирования, раздел применения симплекс-метода. Давайте решим эту задачу пошагово.

Задача линейного программирования:

Найти максимум функции: \[ F = x_1 + 2x_2 \quad \text{при ограничениях} \]

Для решения задачи симплекс-методом нужно сначала привести систему ограничений к канонической форме:

1. Приведем ограничения к равенствам, введя добавочные (искусственные) переменные \(x_3, x_4, x_5\): \[ \begin{cases} 5x_1 + 2x_2 + x_3 = 20 \\ 4x_1 + x_2 + x_4 = 12 \\ 3x_1 + 2x_2 + x_5 = 12 \\ x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 \geq 0 \end{cases} \]
2. Составим начальную симплекс-таблицу. Обратим внимание, что целевая функция \(F = x_1 + 2x_2\) в канонической форме будет записываться как \(F - x_1 - 2x_2 = 0\). Таблица будет выглядеть следующим образом: \[ \begin{array}{c|cccccc} \text{Базисные переменные} & x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 & \text{Свободный член} \\ \hline x_3 & 5 & 2 & 1 & 0 & 0 & 20 \\ x_4 & 4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 12 \\ x_5 & 3 & 2 & 0 & 0 & 1 & 12 \\ \hline F & -1 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \]
3. Найдем ведущий столбец. Это тот, у которого наибольший отрицательный элемент в строке целевой функции. В данном случае это столбец \(x_2\), так как \(-2\) - наибольший отрицательный элемент.
4. Найдем ведущую строку. Для этого делим свободные члены на положительные элементы в \(x_2\)-ом столбце:
   \[ \begin{aligned} \frac{20}{2} = 10\quad (\text{строка} \ x_3) \\ \frac{12}{1} = 12\quad (\text{строка} \ x_4) \\ \frac{12}{2} = 6\quad (\text{строка} \ x_5) \end{aligned} \]