Решить задачу линейного программирования (ЛП) графическим методом

Определение предмета и раздела:

Данное задание относится к предмету математики, а именно к разделу линейного программирования (ЛП). Линейное программирование занимается поиском оптимальных решений для задач с линейными целевыми функциями и ограничениями, представленными в виде систем линейных неравенств.

Введение в задание:

Нам необходимо решить задачу линейного программирования (ЛП) графическим методом.

Целевая функция: $\text{[}L(X)=2x_1-5x_2\to max\text{]}$

с рядом ограничений: $\text{[}\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2\le 6\\ 3x_1-x_2\le 6\\ x_1+2x_2\ge 0\\ 2x_1+3x_2\ge -1\\ x_1\ge 0,x_2\ge 0\end{array}\text{]}$

Шаг 1: Построение системы ограничений на графике

Для решения графическим методом нужно построить графики всех ограничивающих равенств в системе на плоскости $\text{(}(x_1,x_2)\text{)}$.

1. Построим график первого ограничения $\text{(}{x}_1+2x_2\le 6\text{)}:$

Для этого найдем пересечения данной прямой с осями:

• Для $\text{(}{x}_1=0\text{)}:\text{(}2x_2=6\Rightarrow x_2=3\text{)}.$
• Для $\text{(}{x}_2=0\text{)}:\text{(}{x}_1=6\text{)}.$

Прямая проходит через точки $\text{(}(0,3)\text{)}$ и $\text{(}(6,0)\text{)}.$

2. Построим график второго ограничения $\text{(}3x_1-x_2\le 6\text{)}:$

• Для $\text{(}{x}_1=0\text{)}:\text{(}-x_2=6\Rightarrow x_2=-6\text{)}.$
• Для $\text{(}{x}_2=0\text{)}:\text{(}3x_1=6\Rightarrow x_1=2\text{)}.$

Прямая проходит через точки $\text{(}(0,-6)\text{)}$ и $\text{(}(2,0)\text{)}.$

3. Построим график третьего ограничения $\text{(}{x}_1+2x_2\ge 0\text{)}:$

• Для $\text{(}{x}_1=0\text{)}:\text{(}2x_2=0\Rightarrow x_2=0\text{)}.$
• Для $\text{(}{x}_2=0\text{)}:\text{(}{x}_1=0\text{)}.$

Это прямая, проходящая через начало координат и имеющая тот же наклон, что и первое ограничение $\text{(}{x}_1+2x_2=6\text{)}$, но располагающаяся ниже.

4. Построим график четвертого ограничения $\text{(}2x_1+3x_2\ge -1\text{)}:$

• Для $\text{(}{x}_1=0\text{)}:\text{(}3x_2=-1\Rightarrow x_2=-\frac{1}{3}\text{)}.$
• Для $\text{(}{x}_2=0\text{)}:\text{(}2x_1=-1\Rightarrow x_1=-\frac{1}{2}\text{)}.$

Это прямая, проходящая через точки $\text{(}(0,-\frac{1}{3})\text{)}$ и $\text{(}(-\frac{1}{2},0)\text{)}.$

5. Учет дополнительных ограничений

$\text{(}{x}_1\ge 0\text{)}$ и $\text{(}{x}_2\ge 0\text{)}$ ограничивают нас на положительную область по осям $\text{(}{x}_1\text{)}$ и $\text{(}{x}_2\text{)}.$

Шаг 2: Нахождение области допустимых решений

Нам нужно выделить область, которая удовлетворяет всем ограничениям. Для этого мы смотрим, какие части плоскости остаются в пересечении всех полуплоскостей, которые были получены на основе графиков, построенных ранее.

Шаг 3: Поиск оптимального решения

Теперь нам нужно найти точку в этой области, которая оптимизирует целевую функцию $\text{(}2x_1-5x_2\text{)}.$ Для этого мы можем оценивать значения функции на границах допустимой области и находить максимум функции.

Шаг 4: Вывод

На этом шаге находится оптимальная точка $\text{(}(x_1^{\ast },x_2^{\ast })\text{)}$, которая даёт максимальное значение функции.