Решить задачу линейного программирования (ЛП) графическим методом

Определение предмета и раздела:

Данное задание относится к предмету математики, а именно к разделу линейного программирования (ЛП). Линейное программирование занимается поиском оптимальных решений для задач с линейными целевыми функциями и ограничениями, представленными в виде систем линейных неравенств.

Введение в задание:

Нам необходимо решить задачу линейного программирования (ЛП) графическим методом.

Целевая функция: \[ L(X) = 2x_1 - 5x_2 \rightarrow \max \]

с рядом ограничений: \[ \begin{cases} x_1 + 2x_2 \leq 6 \\ 3x_1 - x_2 \leq 6 \\ x_1 + 2x_2 \geq 0 \\ 2x_1 + 3x_2 \geq -1 \\ x_1 \geq 0, \ x_2 \geq 0 \end{cases} \]

Шаг 1: Построение системы ограничений на графике

Для решения графическим методом нужно построить графики всех ограничивающих равенств в системе на плоскости \( (x_1, x_2) \).

1. Построим график первого ограничения \( x_1 + 2x_2 \leq 6 \):

Для этого найдем пересечения данной прямой с осями:

• Для \( x_1 = 0 \): \( 2x_2 = 6 \Rightarrow x_2 = 3 \).
• Для \( x_2 = 0 \): \( x_1 = 6 \).

Прямая проходит через точки \( (0, 3) \) и \( (6, 0) \).

2. Построим график второго ограничения \( 3x_1 - x_2 \leq 6 \):

• Для \( x_1 = 0 \): \( -x_2 = 6 \Rightarrow x_2 = -6 \).
• Для \( x_2 = 0 \): \( 3x_1 = 6 \Rightarrow x_1 = 2 \).

Прямая проходит через точки \( (0, -6) \) и \( (2, 0) \).

3. Построим график третьего ограничения \( x_1 + 2x_2 \geq 0 \):

• Для \( x_1 = 0 \): \( 2x_2 = 0 \Rightarrow x_2 = 0 \).
• Для \( x_2 = 0 \): \( x_1 = 0 \).

Это прямая, проходящая через начало координат и имеющая тот же наклон, что и первое ограничение \( x_1 + 2x_2 = 6 \), но располагающаяся ниже.

4. Построим график четвертого ограничения \( 2x_1 + 3x_2 \geq -1 \):

• Для \( x_1 = 0 \): \( 3x_2 = -1 \Rightarrow x_2 = -\frac{1}{3} \).
• Для \( x_2 = 0 \): \( 2x_1 = -1 \Rightarrow x_1 = -\frac{1}{2} \).

Это прямая, проходящая через точки \( (0, -\frac{1}{3}) \) и \( (-\frac{1}{2}, 0) \).

5. Учет дополнительных ограничений

\( x_1 \geq 0 \) и \( x_2 \geq 0 \) ограничивают нас на положительную область по осям \( x_1 \) и \( x_2 \).

Шаг 2: Нахождение области допустимых решений

Нам нужно выделить область, которая удовлетворяет всем ограничениям. Для этого мы смотрим, какие части плоскости остаются в пересечении всех полуплоскостей, которые были получены на основе графиков, построенных ранее.

Шаг 3: Поиск оптимального решения

Теперь нам нужно найти точку в этой области, которая оптимизирует целевую функцию \( 2x_1 - 5x_2 \). Для этого мы можем оценивать значения функции на границах допустимой области и находить максимум функции.

Шаг 4: Вывод

На этом шаге находится оптимальная точка \( (x_1^*, x_2^*) \), которая даёт максимальное значение функции.