Решить задачу линейного программирования и нарисовать график

Задача относится к предмету "Математика" и разделу "Линейное программирование"

Шаг 1: Постановка задачи

Нам нужно максимизировать целевую функцию $\text{(}Z(X)=3x_1+2x_2\text{)}$ при соблюдении следующих ограничений:

Шаг 2: Построение множества допустимых решений

Для решения задачи построим график ограничений. Рассмотрим каждое неравенство.

Ограничение 1: $\text{(}2x_1-x_2\ge 0\text{)}$

Можем переписать в виде $\text{(}{x}_2\le 2x_1\text{)}$.

Ограничение 2: $\text{(}-x_1+2x_2\le 3\text{)}$

Можем переписать в виде $\text{(}2x_2\le x_1+3\text{)}$ или $\text{(}{x}_2\le \frac{x_1}{2}+\frac{3}{2}\text{)}$.

Ограничение 3: $\text{(}{x}_2\le 3\text{)}$

Это ограничение задает верхнюю границу для $\text{(}{x}_2\text{)}$.

Ограничение 4 и 5: $\text{(}{x}_1\ge 0\text{)}$ и $\text{(}{x}_2\ge 0\text{)}$

Они означают, что $\text{(}{x}_1\text{)}$ и $\text{(}{x}_2\text{)}$ должны быть неотрицательными.

Шаг 3: Построение графика

Построим графики ограничений для нахождения допустимой области:

1. $\text{(}{x}_2\le 2x_1\text{)}$
2. $\text{(}{x}_2\le \frac{x_1}{2}+\frac{3}{2}\text{)}$
3. $\text{(}{x}_2\le 3\text{)}$
4. $\text{(}{x}_1\ge 0\text{)}$
5. $\text{(}{x}_2\ge 0\text{)}$

Пересечение всех этих областей даст нам множество допустимых решений.

Шаг 4: Нахождение экстремальных точек

Для нахождения максимального значения целевой функции, необходимо определить экстремальные точки допустимой области. Их находим путем решения системы уравнений:

1. $\text{(}2x_1-x_2=0\text{)}$
2. $\text{(}-x_1+2x_2=3\text{)}$
3. $\text{(}{x}_2=3\text{)}$
4. Пересечение с осями координат.

Пересечение 1: $\text{(}2x_1-x_2=0\text{)}$ и $\text{(}-x_1+2x_2=3\text{)}$

Подставим $\text{(}{x}_2\text{)}$ из (1) во второе уравнение:

Таким образом, первая точка пересечения будет $\text{(}(1,2)\text{)}$.

Пересечение 2: $\text{(}2x_1-x_2=0\text{)}$ и $\text{(}{x}_2=3\text{)}$

Точка пересечения будет $\text{(}(\frac{3}{2},3)\text{)}$.

Пересечение с осями:

1. $\text{(}2x_1-x_2=0\text{)}$ Для $\text{(}{x}_1=0\text{)}$, $\text{(}{x}_2=0\text{)}$. Это начальная точка (0,0).

Шаг 5: Вычисление значений целевой функции

Теперь оценим значение целевой функции в этих точках:

1. $\text{(}Z(0,0)=3(0)+2(0)=0\text{)}$
2. $\text{(}Z(1,2)=3(1)+2(2)=3+4=7\text{)}$
3. $\text{(}Z(\frac{3}{2},3)=3(\frac{3}{2})+2(3)=\frac{9}{2}+6=\frac{9}{2}+\frac{12}{2}=\frac{21}{2}=10.5\text{)}$

Таким образом, максимальное значение целевой функции равно 10.5 и достигается в точке $\text{(}(\frac{3}{2},3)\text{)}$.

График областей и линии iso-value (линии одинаковых значений)

На графике в плоскости $\text{(}{x}_1\text{)}$ и $\text{(}{x}_2\text{)}$ выделяем область, ограниченную допустимыми решениями и рисуем линии уровней целевой функции. Показано что максимальная точка достигается в $\text{(}(\frac{3}{2},3)\text{)}$ и значение 10.5.