Решить задачу линейного программирования и нарисовать график

Задача относится к предмету "Математика" и разделу "Линейное программирование"

Шаг 1: Постановка задачи

Нам нужно максимизировать целевую функцию \( Z(X) = 3x_1 + 2x_2 \) при соблюдении следующих ограничений:

Шаг 2: Построение множества допустимых решений

Для решения задачи построим график ограничений. Рассмотрим каждое неравенство.

Ограничение 1: \(2x_1 - x_2 \geq 0\)

Можем переписать в виде \(x_2 \leq 2x_1\).

Ограничение 2: \(-x_1 + 2x_2 \leq 3\)

Можем переписать в виде \(2x_2 \leq x_1 + 3\) или \(x_2 \leq \frac{x_1}{2} + \frac{3}{2}\).

Ограничение 3: \(x_2 \leq 3\)

Это ограничение задает верхнюю границу для \(x_2\).

Ограничение 4 и 5: \(x_1 \geq 0\) и \(x_2 \geq 0\)

Они означают, что \(x_1\) и \(x_2\) должны быть неотрицательными.

Шаг 3: Построение графика

Построим графики ограничений для нахождения допустимой области:

1. \(x_2 \leq 2x_1\)
2. \(x_2 \leq \frac{x_1}{2} + \frac{3}{2}\)
3. \(x_2 \leq 3\)
4. \(x_1 \geq 0\)
5. \(x_2 \geq 0\)

Пересечение всех этих областей даст нам множество допустимых решений.

Шаг 4: Нахождение экстремальных точек

Для нахождения максимального значения целевой функции, необходимо определить экстремальные точки допустимой области. Их находим путем решения системы уравнений:

1. \(2x_1 - x_2 = 0\)
2. \(-x_1 + 2x_2 = 3\)
3. \(x_2 = 3\)
4. Пересечение с осями координат.

Пересечение 1: \(2x_1 - x_2 = 0\) и \(-x_1 + 2x_2 = 3\)

Подставим \(x_2\) из (1) во второе уравнение:

Таким образом, первая точка пересечения будет \( (1, 2) \).

Пересечение 2: \(2x_1 - x_2 = 0\) и \(x_2 = 3\)

Точка пересечения будет \( (\frac{3}{2}, 3) \).

Пересечение с осями:

1. \(2x_1 - x_2 = 0\) Для \(x_1 = 0\), \(x_2 = 0\). Это начальная точка (0,0).

Шаг 5: Вычисление значений целевой функции

Теперь оценим значение целевой функции в этих точках:

1. \(Z(0,0) = 3(0) + 2(0) = 0\)
2. \(Z(1, 2) = 3(1) + 2(2) = 3 + 4 = 7\)
3. \(Z(\frac{3}{2}, 3) = 3(\frac{3}{2}) + 2(3) = \frac{9}{2} + 6 = \frac{9}{2} + \frac{12}{2} = \frac{21}{2} = 10.5\)

Таким образом, максимальное значение целевой функции равно 10.5 и достигается в точке \( (\frac{3}{2}, 3) \).

График областей и линии iso-value (линии одинаковых значений)

На графике в плоскости \(x_1\) и \(x_2\) выделяем область, ограниченную допустимыми решениями и рисуем линии уровней целевой функции. Показано что максимальная точка достигается в \( (\frac{3}{2}, 3) \) и значение 10.5.