Решить задачу линейного программирования и нарисовать график

Условие:

Решить задачу линейного программирования и нарисовать график

Решение:

Задача относится к предмету "Математика" и разделу "Линейное программирование". ## Шаг 1: Постановка задачи Нам нужно максимизировать целевую функцию \( Z(X) = 3x_1 + 2x_2 \) при соблюдении следующих ограничений: \[ \begin{cases} 2x_1 - x_2 \geq 0, \\ -x_1 + 2x_2 \leq 3, \\ x_2 \leq 3, \\ x_1 \geq 0, \\ x_2 \geq 0. \end{cases} \] ## Шаг 2: Построение множества допустимых решений Для решения задачи построим график ограничений. Рассмотрим каждое неравенство. ### Ограничение 1: \(2x_1 - x_2 \geq 0\) Можем переписать в виде \(x_2 \leq 2x_1\). ### Ограничение 2: \(-x_1 + 2x_2 \leq 3\) Можем переписать в виде \(2x_2 \leq x_1 + 3\) или \(x_2 \leq \frac{x_1}{2} + \frac{3}{2}\). ### Ограничение 3: \(x_2 \leq 3\) Это ограничение задает верхнюю границу для \(x_2\). ### Ограничение 4 и 5: \(x_1 \geq 0\) и \(x_2 \geq 0\) Они означают, что \(x_1\) и \(x_2\) должны быть неотрицательными. ## Шаг 3: Построение графика Построим графики ограничений для нахождения допустимой области: 1. \(x_2 \leq 2x_1\) 2. \(x_2 \leq \frac{x_1}{2} + \frac{3}{2}\) 3. \(x_2 \leq 3\) 4. \(x_1 \geq 0\) 5. \(x_2 \geq 0\) Пересечение всех этих областей даст нам множество допустимых решений. ## Шаг 4: Нахождение экстремальных точек Для нахождения максимального значения целевой функции, необходимо определить экстремальные точки допустимой области. Их находим путем решения системы уравнений: 1. \(2x_1 - x_2 = 0\) 2. \(-x_1 + 2x_2 = 3\) 3. \(x_2 = 3\) 4. Пересечение с осями координат. ### Пересечение 1: \(2x_1 - x_2 = 0\) и \(-x_1 + 2x_2 = 3\) \[ 2x_1 = x_2 \quad (1) \] Подставим \(x_2\) из (1) во второе уравнение: \[ -x_1 + 2(2x_1) = 3 \Rightarrow 3x_1 = 3 \Rightarrow x_1 = 1 \] \[ x_2 = 2x_1 = 2(1) = 2 \] Таким образом, первая точка пересечения будет \( (1, 2) \). ### Пересечение 2: \(2x_1 - x_2 = 0\) и \(x_2 = 3\) \[ x_2 = 3 \Rightarrow 2x_1 = 3 \Rightarrow x_1 = \frac{3}{2} \] Точка пересечения будет \( (\frac{3}{2}, 3) \). ### Пересечение с осями: 1. \(2x_1 - x_2 = 0\) Для \(x_1 = 0\), \(x_2 = 0\). Это начальная точка (0,0). ## Шаг 5: Вычисление значений целевой функции Теперь оценим значение целевой функции в этих точках: 1. \(Z(0,0) = 3(0) + 2(0) = 0\) 2. \(Z(1, 2) = 3(1) + 2(2) = 3 + 4 = 7\) 3. \(Z(\frac{3}{2}, 3) = 3(\frac{3}{2}) + 2(3) = \frac{9}{2} + 6 = \frac{9}{2} + \frac{12}{2} = \frac{21}{2} = 10.5\) Таким образом, максимальное значение целевой функции равно 10.5 и достигается в точке \( (\frac{3}{2}, 3) \). ## График областей и линии iso-value (линии одинаковых значений) На графике в плоскости \(x_1\) и \(x_2\) выделяем область, ограниченную допустимыми решениями и рисуем линии уровней целевой функции. Показано что максимальная точка достигается в \( (\frac{3}{2}, 3) \) и значение 10.5.