Решить задачу линейного программирования графическим методом

Условие:

Реши задачу линейного программирования графическим методом

Решение:

Данное задание относится к предмету "математика", а точнее к разделу "линейное программирование". Задача: Минимизировать \( z(x) = 2x_1 + x_2 \) при условиях: \[ \begin{cases} -2x_1 + 3x_2 \leq 12,\\ x_1 + x_2 \leq 9,\\ x_1 + 2x_2 \geq 10,\\ x_1 \geq 0, x_2 \geq 0. \end{cases} \] ### Решение графическим методом: 1. **Нарисуем все ограничения на координатной плоскости.** - Для неравенства \( -2x_1 + 3x_2 \leq 12 \): Найдем точки пересечения прямой с координатными осями: - При \( x_1 = 0 \): \( 3x_2 = 12 \) \( \rightarrow \) \( x_2 = 4 \) - При \( x_2 = 0 \): \( -2x_1 = 12 \) \( \rightarrow \) \( x_1 = -6 \) (что за пределами допустимых значений \( x_1 \geq 0 \)) Таким образом, прямая пересекает ось \( x_2 \) в точке \( (0, 4) \). - Для неравенства \( x_1 + x_2 \leq 9 \): - При \( x_1 = 0 \): \( x_2 = 9 \) - При \( x_2 = 0 \): \( x_1 = 9 \) - Для неравенства \( x_1 + 2x_2 \geq 10 \): - При \( x_1 = 0 \): \( 2x_2 = 10 \) \( \rightarrow \) \( x_2 = 5 \) - При \( x_2 = 0 \): \( x_1 = 10 \) - Неравенства \( x_1 \geq 0 \) и \( x_2 \geq 0 \) обозначают первую координатную четверть. 2. **Построим график.** - Нарисуем линии для всех уравнений: - \( -2x_1 + 3x_2 = 12 \) - линия проходит через точки \((0, 4)\) - \( x_1 + x_2 = 9 \) - линия проходит через точки \((0, 9)\) и \((9, 0)\) - \( x_1 + 2x_2 = 10 \) - линия проходит через точки \((0, 5)\) и \((10, 0)\) 3. **Найдем область допустимых решений, удовлетворяющих всем неравенствам.** Область ограничена линиями и осью координат. Это выпуклый многоугольник. 4. **Определим координаты углов многоугольника (точки пересечения).** - Пересечение \( x_1 + x_2 = 9 \) и \( x_1 + 2x_2 = 10 \): Решим систему: \[ \begin{cases} x_1 + x_2 = 9 \\ x_1 + 2x_2 = 10 \end{cases} \] Выразим \( x_1 \) из первого уравнения: \( x_1 = 9 - x_2 \) Подставим во второе уравнение: \[ 9 - x_2 + 2x_2 = 10 \\ \rightarrow x_2 = 1 \\ x_1 = 9 - 1 = 8 \] Итак, точка пересечения \((8, 1)\). - Пересечение \( x_1 + x_2 = 9 \) и \( -2x_1 + 3x_2 = 12 \): Решим систему: \[ \begin{cases} x_1 + x_2 = 9 \\ -2x_1 + 3x_2 = 12 \end{cases} \] Выразим \( x_1 \): \[ x_1 + x_2 = 9 \\ \rightarrow x_1 = 9 - x_2 \] Подставим во второе уравнение: \[ -2(9 - x_2) + 3x_2 = 12 \\ -18 + 2x_2 + 3x_2 = 12 \\ 5x_2 = 30 \\ x_2 = 6 \\ x_1 = 9 - 6 = 3 \] Итак, точка пересечения \((3, 6)\). - Пересечение \( -2x_1 + 3x_2 = 12 \) и \( x_1 + 2x_2 = 10 \): Решим систему: \[ \begin{cases} -2x_1 + 3x_2 = 12 \\ x_1 + 2x_2 = 10 \end{cases} \] Умножим второе уравнение на 2 и сложим уравнения, чтобы исключить \( x_1 \): \[ \begin{cases} -2x_1 + 3x_2 = 12 \\ 2x_1 + 4x_2 = 20 \end{cases} \] \[ 7x_2 = 32 \\ x_2 = \dfrac{32}{7} \approx 4.571 \] Подставим значение \( x_2 \) во второе уравнение: \[ x_1 + 2 \cdot \dfrac{32}{7} = 10 \\ x_1 = 10 - \dfrac{64}{7} \\ x_1 = \dfrac{70}{7} - \dfrac{64}{7} = \dfrac{6}{7} \approx 0.857 \] Итак, точка пересечения \(\left(\dfrac{6}{7}, \dfrac{32}{7}\right)\). 5. **Вычислим значение целевой функции в этих точках:** - Для точки \((10, 0)\): \( z = 2 \cdot 10 + 0 = 20 \) - Для точки \((8, 1)\): \( z = 2 \cdot 8 + 1 = 16 + 1 = 17 \) - Для точки \((3, 6)\): \( z = 2 \cdot 3 + 6 = 6 + 6 = 12 \) - Для точки \(\left( \dfrac{6}{7}, \dfrac{32}{7} \right)\): \( z = 2 \cdot \dfrac{6}{7} + \dfrac{32}{7} \approx \dfrac{12}{7} + \dfrac{32}{7} = \dfrac{44}{7} \approx 6.3 \) ### Таким образом, минимальное значение целевой функции \( z = 12 \), достигается в точке \( (3, 6) \).