Решить задачу линейного программирования графическим методом

Данное задание относится к предмету "математика", а точнее к разделу "линейное программирование". Задача: Минимизировать \( z(x) = 2x_1 + x_2 \) при условиях: \[ \begin{cases} -2x_1 + 3x_2 \leq 12,\\ x_1 + x_2 \leq 9,\\ x_1 + 2x_2 \geq 10,\\ x_1 \geq 0, x_2 \geq 0. \end{cases} \]

Решение графическим методом:

1. Нарисуем все ограничения на координатной плоскости.
   • Для неравенства \( -2x_1 + 3x_2 \leq 12 \):
     • При \( x_1 = 0 \): \( 3x_2 = 12 \) \( \rightarrow \) \( x_2 = 4 \)
     • При \( x_2 = 0 \): \( -2x_1 = 12 \) \( \rightarrow \) \( x_1 = -6 \) (что за пределами допустимых значений \( x_1 \geq 0 \))
     Таким образом, прямая пересекает ось \( x_2 \) в точке \( (0, 4) \).
   • Для неравенства \( x_1 + x_2 \leq 9 \):
     • При \( x_1 = 0 \): \( x_2 = 9 \)
     • При \( x_2 = 0 \): \( x_1 = 9 \)
   • Для неравенства \( x_1 + 2x_2 \geq 10 \):
     • При \( x_1 = 0 \): \( 2x_2 = 10 \) \( \rightarrow \) \( x_2 = 5 \)
     • При \( x_2 = 0 \): \( x_1 = 10 \)
   • Неравенства \( x_1 \geq 0 \) и \( x_2 \geq 0 \) обозначают первую координатную четверть.
2. Построим график.
   • Нарисуем линии для всех уравнений:
     • \( -2x_1 + 3x_2 = 12 \) - линия проходит через точки \( (0, 4) \)
     • \( x_1 + x_2 = 9 \) - линия проходит через точки \( (0, 9) \) и \( (9, 0) \)
     • \( x_1 + 2x_2 = 10 \) - линия проходит через точки \( (0, 5) \) и \( (10, 0) \)
3. Найдем область допустимых решений, удовлетворяющих всем неравенствам. Область ограничена линиями и осью координат. Это выпуклый многоугольник.
4. Определим координаты углов многоугольника (точки пересечения).
   • Пересечение \( x_1 + x_2 = 9 \) и \( x_1 + 2x_2 = 10 \): Решим систему: \[ \begin{cases} x_1 + x_2 = 9 \\ x_1 + 2x_2 = 10 \end{cases} \] Выразим \( x_1 \) из первого уравнения: \( x_1 = 9 - x_2 \) Подставим во второе уравнение: \[ 9 - x_2 + 2x_2 = 10 \\ \rightarrow x_2 = 1 \\ x_1 = 9 - 1 = 8 \] Итак, точка пересечения \( (8, 1) \).
   • Пересечение \( x_1 + x_2 = 9 \) и \( -2x_1 + 3x_2 = 12 \): Решим систему: \[ \begin{cases} x_1 + x_2 = 9 \\ -2x_1 + 3x_2 = 12 \end{cases} \] Выразим \( x_1 \): \( x_1 + x_2 = 9 \\ \rightarrow x_1 = 9 - x_2 \) Подставим во второе уравнение: \[ -2(9 - x_2) + 3x_2 = 12 \\ -18 + 2x_2 + 3x_2 = 12 \\ 5x_2 = 30 \\ x_2 = 6 \\ x_1 = 9 - 6 = 3 \] Итак, точка пересечения \( (3, 6) \).
   • Пересечение \( -2x_1 + 3x_2 = 12 \) и \( x_1 + 2x_2 = 10 \): Решим систему: \[ \begin{cases} -2x_1 + 3x_2 = 12 \\ x_1 + 2x_2 = 10 \end{cases} \] Умножим второе уравнение на 2 и сложим уравнения, чтобы исключить \( x_1 \): \[ \begin{cases} -2x_1 + 3x_2 = 12 \\ 2x_1 + 4x_2 = 20 \end{cases} \] \[ 7x_2 = 32 \\ x_2 = \dfrac{32}{7} \approx 4.571 \] Подставим значение \( x_2 \) во второе уравнение: \[ x_1 + 2 \cdot \dfrac{32}{7} = 10 \\ x_1 = 10 - \dfrac{64}{7} \\ x_1 = \dfrac{70}{7} - \dfrac{64}{7} = \dfrac{6}{7} \approx 0.857 \] Итак, точка пересечения \(\left(\dfrac{6}{7}, \dfrac{32}{7}\right)\).
5. Вычислим значение целевой функции в этих точках:
   • Для точки \( (10, 0) \): \( z = 2 \cdot 10 + 0 = 20 \)
   • Для точки \( (8, 1) \): \( z = 2 \cdot 8 + 1 = 16 + 1 = 17 \)
   • Для точки \( (3, 6) \): \( z = 2 \cdot 3 + 6 = 6 + 6 = 12 \)
   • Для точки \(\left( \dfrac{6}{7}, \dfrac{32}{7} \right)\): \( z = 2 \cdot \dfrac{6}{7} + \dfrac{32}{7} \approx \dfrac{12}{7} + \dfrac{32/7} = \dfrac{44/7} \approx 6.3 \)

Таким образом, минимальное значение целевой функции \( z = 12 \), достигается в точке \( (3, 6) \).