Решить задачу линейного програмирования графически

Определение предмета и раздела

Предмет: Математика
Раздел: Линейное программирование

Решение задачи графическим методом

1. Запишем задачу в общем виде:

Максимизировать функцию:
 f(x_1, x_2) = 2x_1 - x_2 \to \max 

При ограничениях:
 \begin{cases} 2x_1 + x_2 \leq 2, \ 10x_1 + x_2 \leq 3, \ x_1 \geq 0, \quad x_2 \geq 0. \end{cases} 

2. Построение ограничений на координатной плоскости

Перепишем ограничения в виде уравнений границ областей:

1.  2x_1 + x_2 = 2 

   • При  x_1 = 0 :  x_2 = 2  (точка (0,2))
   • При  x_2 = 0 :  x_1 = 1  (точка (1,0))

2.  10x_1 + x_2 = 3 

   • При  x_1 = 0 :  x_2 = 3  (точка (0,3))
   • При  x_2 = 0 :  x_1 = 0.3  (точка (0.3,0))

3. Определение области допустимых решений

Областью допустимых решений является пересечение полуплоскостей, определяемых неравенствами, и первой четверти (из-за условий  x_1 \geq 0, x_2 \geq 0 ).

Граничные точки области находятся в пересечении линий:

• Пересечение  2x_1 + x_2 = 2  и  10x_1 + x_2 = 3 :

Решим систему:
 \begin{cases} 2x_1 + x_2 = 2, \ 10x_1 + x_2 = 3. \end{cases} 

Вычтем первое уравнение из второго:
 (10x_1 + x_2) - (2x_1 + x_2) = 3 - 2 
 8x_1 = 1 
 x_1 = \frac{1}{8} = 0.125 

Подставим в первое уравнение:
 2(0.125) + x_2 = 2 
 0.25 + x_2 = 2 
 x_2 = 1.75 

Таким образом, ключевые вершины области:

• (0,0), (1,0), (0,2), (0.125, 1.75)

4. Вычисление значений целевой функции в вершинах

Подставим координаты вершин в  f(x_1, x_2) = 2x_1 - x_2 :

• В точке (0,0):
   f(0,0) = 2(0) - 0 = 0 
• В точке (1,0):
   f(1,0) = 2(1) - 0 = 2 
• В точке (0,2):
   f(0,2) = 2(0) - 2 = -2 
• В точке (0.125, 1.75):
   f(0.125,1.75) = 2(0.125) - 1.75 = 0.25 - 1.75 = -1.5 

5. Определение оптимального решения

Максимальное значение функции достигается в точке (1,0) и равно 2.

Ответ:
Оптимальное решение:  x_1 = 1, x_2 = 0 ,
Максимальное значение функции:  f_{\max} = 2 .