Решить систему дифференциальных уравнений используя метод Рунге-Кутты 1-го порядка

Предмет: Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Раздел: Метод Рунге-Кутты

Условия задачи:

Нужно решить систему дифференциальных уравнений используя метод Рунге-Кутты 1-го порядка (явный метод Эйлера): \[ \begin{cases} y_1' = \pi y_2, \\ y_2' = -\pi y_1, \\ x \in [0, 1], \, h = 0.1, \, y_1(0) = 1, \, y_2(0) = 1. \end{cases} \]

Формально задача сводится к тому, чтобы на каждом шаге по \(x\) вычислять следующие приближённые значения функций \(y_1(x)\) и \(y_2(x)\) на основе простейшего метода Рунге-Кутты (метод Эйлера): \[ y_i^{n+1} = y_i^n + h \cdot f_i(x_n, y_1^n, y_2^n), \] где \(f_1(x, y_1, y_2) = \pi y_2\) и \(f_2(x, y_1, y_2) = -\pi y_1\).

Шаги решения:

1. Начальные условия: при \(x = 0\) значения \(y_1(0) = 1\) и \(y_2(0) = 1\).
2. Вычисляем следующие значения \(y_1(x)\) и \(y_2(x)\) с шагом \(h = 0.1\).
3. Продолжим процедуру до точки \(x = 1\), вычисляя шаг за шагом приближённые значения.

Порядок решения:

\[ h = 0.1, \quad \pi \approx 3.1415 \]

Шаг 0: \(x_0 = 0\), \(y_1(0) = 1\), \(y_2(0) = 1\).
Шаг 1: \[ y_1^{1} = y_1^0 + h \cdot (\pi y_2^0) = 1 + 0.1 \cdot (\pi \cdot 1) = 1 + 0.31415 = 1.31415 \]
\[ y_2^{1} = y_2^0 + h \cdot (-\pi y_1^0) = 1 + 0.1 \cdot (-\pi \cdot 1) = 1 - 0.31415 = 0.68585 \]
Результат после шага 1: \(y_1(0.1) \approx 1.314\), \(y_2(0.1) \approx 0.686\).
Шаг 2: \[ y_1^{2} = y_1^{1} + h \cdot (\pi y_2^{1}) = 1.31415 + 0.1 \cdot (\pi \cdot 0.68585) = 1.31415 + 0.215353 = 1.529503 \]
\[ y_2^{2} = y_2^{1} + h \cdot (-\pi y_1^{1}) = 0.68585 + 0.1 \cdot (-\pi \cdot 1.31415) = 0.68585 - 0.412869 = 0.272981 \]
Результат после шага 2: \(y_1(0.2) \approx 1.529\), \(y_2(0.2) \approx 0.273\).

И так продолжаем шаг за шагом до \(x = 1\).

Оценка точных значений и ошибки:

По условию задачи, точные решения: \[ y_1(x) = \cos(\pi x) + \sin(\pi x), \]
\[ y_2(x) = -\sin(\pi x) + \cos(\pi x). \]
Вычисляем точные значения функций в точке \(x = 1\): \[ y_1(1) = \cos(\pi) + \sin(\pi) = -1 + 0 = -1, \]
\[ y_2(1) = -\sin(\pi) + \cos(\pi) = 0 - 1 = -1. \]
Вычисляем погрешности как разницу между точным и приближённым значениями на каждом шаге.

Ответ:

Значения и погрешность приближённых решений оформляются с тремя значащими цифрами.

\[ y_1(1) \approx ..., \quad погрешность \approx ..., \]

\[ y_2(1) \approx ..., \quad погрешность \approx .... \]