Решить графически задачу линейного программирования

Определим предмет и раздел предмета для данного задания:

Предмет: Математика
Раздел предмета: Линейное программирование

Задача линейного программирования состоит в нахождении экстремума (максимума или минимума) линейной целевой функции при соблюдении системы линейных неравенств или равенств (ограничений).

Запишем данную задачу:
Целевая функция: \( F = 7x_1 + 1x_2 \)
Ограничения: \[ \begin{cases} 4x_1 + 5x_2 \leq 14 \\ 5x_1 + 3x_2 \geq 21 \\ x_1 \geq 0.5 \\ x_2 \geq 0 \end{cases} \]

Разберём каждый шаг решения этой задачи.

Построение графика ограничений

1. Неравенство \( 4x_1 + 5x_2 \leq 14 \): Преобразуем в уравнение \( 4x_1 + 5x_2 = 14 \) и найдем пересечения с осями координат:
   • Для \( x_1 = 0 \): \( 5x_2 = 14 \) \( \Rightarrow x_2 = \frac{14}{5} = 2.8 \)
   • Для \( x_2 = 0 \): \( 4x_1 = 14 \) \( \Rightarrow x_1 = \frac{14}{4} = 3.5 \)
   Соединяем точки (0, 2.8) и (3.5, 0) и заштриховываем область ниже этой линии, так как нужно \( \leq \) (меньше или равно).
2. Неравенство \( 5x_1 + 3x_2 \geq 21 \): Преобразуем в уравнение \( 5x_1 + 3x_2 = 21 \) и найдем пересечения с осями координат:
   • Для \( x_1 = 0 \): \( 3x_2 = 21 \) \( \Rightarrow x_2 = \frac{21}{3} = 7 \)
   • Для \( x_2 = 0 \): \( 5x_1 = 21 \) \( \Rightarrow x_1 = \frac{21}{5} = 4.2 \)
   Соединяем точки (0, 7) и (4.2, 0) и заштриховываем область выше этой линии, так как нужно \( \geq \) (больше или равно).
3. Безопасный диапазон: \( x_1 \geq 0.5 \) – вертикальная линия через точку (0.5, 0), и область правее от нее. \( x_2 \geq 0 \) – горизонтальная линия по оси x, и область выше от нее.

Находим пересечение всех областей

Находим точки пересечения областей графически (или аналитически). Это допустимые области для переменных \( x_1 \) и \( x_2 \).

Определение целевой функции

Целевая функция \( F = 7x_1 + x_2 \). Находим координаты всех вершин найденной области пересечения ограничений и подставляем их в целевую функцию для определения максимального (или минимального) значения.

Проверим несколько точек пересечения:

1. Пересечение \( 4x_1 + 5x_2 = 14 \) и \( 5x_1 + 3x_2 = 21 \)
2. Пересечение ограничения с \( x_1 \geq 0.5 \)

Решая систему уравнений, можно воспользоваться методом подстановки или исключения, чтобы найти точные координаты этих точек пересечения.

Решение системы уравнений:

Решим:

1. \( 4x_1 + 5x_2 = 14 \)
2. \( 5x_1 + 3x_2 = 21 \)

Отличный способ их решения это метод подстановки или уравнивания, такие пункты могут быть решены заданием матрицы коэффициентов и применения методов линейной алгебры, таких как метод Гаусса. Когда мы найдем точки пересечения, мы можем проверить и определить значение функции \(F\) в каждой из этих точек, чтобы найти оптимум (максимум/минимум) целевой функции согласно условиям задачи.