Решить графически задачу линейного программирования

Определим предмет и раздел предмета для данного задания:

Предмет: Математика
Раздел предмета: Линейное программирование

Задача линейного программирования состоит в нахождении экстремума (максимума или минимума) линейной целевой функции при соблюдении системы линейных неравенств или равенств (ограничений).

Запишем данную задачу:
Целевая функция: $\text{(}F=7x_1+1x_2\text{)}$
Ограничения: $\text{[}\{\begin{array}{l}4x_1+5x_2\le 14\\ 5x_1+3x_2\ge 21\\ x_1\ge 0.5\\ x_2\ge 0\end{array}\text{]}$

Разберём каждый шаг решения этой задачи.

Построение графика ограничений

1. Неравенство $\text{(}4x_1+5x_2\le 14\text{)}$: Преобразуем в уравнение $\text{(}4x_1+5x_2=14\text{)}$ и найдем пересечения с осями координат:
   • Для $\text{(}{x}_1=0\text{)}$: $\text{(}5x_2=14\text{)}$ $\text{(}\Rightarrow x_2=\frac{14}{5}=2.8\text{)}$
   • Для $\text{(}{x}_2=0\text{)}$: $\text{(}4x_1=14\text{)}$ $\text{(}\Rightarrow x_1=\frac{14}{4}=3.5\text{)}$
   Соединяем точки (0, 2.8) и (3.5, 0) и заштриховываем область ниже этой линии, так как нужно $\text{(}\le \text{)}$ (меньше или равно).
2. Неравенство $\text{(}5x_1+3x_2\ge 21\text{)}$: Преобразуем в уравнение $\text{(}5x_1+3x_2=21\text{)}$ и найдем пересечения с осями координат:
   • Для $\text{(}{x}_1=0\text{)}$: $\text{(}3x_2=21\text{)}$ $\text{(}\Rightarrow x_2=\frac{21}{3}=7\text{)}$
   • Для $\text{(}{x}_2=0\text{)}$: $\text{(}5x_1=21\text{)}$ $\text{(}\Rightarrow x_1=\frac{21}{5}=4.2\text{)}$
   Соединяем точки (0, 7) и (4.2, 0) и заштриховываем область выше этой линии, так как нужно $\text{(}\ge \text{)}$ (больше или равно).
3. Безопасный диапазон: $\text{(}{x}_1\ge 0.5\text{)}$ – вертикальная линия через точку (0.5, 0), и область правее от нее. $\text{(}{x}_2\ge 0\text{)}$ – горизонтальная линия по оси x, и область выше от нее.

Находим пересечение всех областей

Находим точки пересечения областей графически (или аналитически). Это допустимые области для переменных $\text{(}{x}_1\text{)}$ и $\text{(}{x}_2\text{)}$.

Определение целевой функции

Целевая функция $\text{(}F=7x_1+x_2\text{)}$. Находим координаты всех вершин найденной области пересечения ограничений и подставляем их в целевую функцию для определения максимального (или минимального) значения.

Проверим несколько точек пересечения:

1. Пересечение $\text{(}4x_1+5x_2=14\text{)}$ и $\text{(}5x_1+3x_2=21\text{)}$
2. Пересечение ограничения с $\text{(}{x}_1\ge 0.5\text{)}$

Решая систему уравнений, можно воспользоваться методом подстановки или исключения, чтобы найти точные координаты этих точек пересечения.

Решение системы уравнений:

Решим:

1. $\text{(}4x_1+5x_2=14\text{)}$
2. $\text{(}5x_1+3x_2=21\text{)}$

Отличный способ их решения это метод подстановки или уравнивания, такие пункты могут быть решены заданием матрицы коэффициентов и применения методов линейной алгебры, таких как метод Гаусса. Когда мы найдем точки пересечения, мы можем проверить и определить значение функции $\text{(}F\text{)}$ в каждой из этих точек, чтобы найти оптимум (максимум/минимум) целевой функции согласно условиям задачи.