Решить графически задачу линейного программирования

Условие:

F= 7x, +1; mar .Розвʼязати графічно задачу лінійного програмувания +4≤14, 515. 5x; + 3x; 2 21. x, 2 0.5; 2 0.

Решение:

Определим предмет и раздел предмета для данного задания: Предмет: Математика Раздел предмета: Линейное программирование Задача линейного программирования состоит в нахождении экстремума (максимума или минимума) линейной целевой функции при соблюдении системы линейных неравенств или равенств (ограничений). Запишем данную задачу: Целевая функция: \( F = 7x_1 + 1x_2 \) Ограничения: \[ \begin{cases} 4x_1 + 5x_2 \leq 14 \\ 5x_1 + 3x_2 \geq 21 \\ x_1 \geq 0.5 \\ x_2 \geq 0 \end{cases} \] Разберём каждый шаг решения этой задачи. ### Построение графика ограничений 1. Неравенство \( 4x_1 + 5x_2 \leq 14 \): Преобразуем в уравнение \( 4x_1 + 5x_2 = 14 \) и найдем пересечения с осями координат: - Для \( x_1 = 0 \): \( 5x_2 = 14 \) \( \Rightarrow x_2 = \frac{14}{5} = 2.8 \) - Для \( x_2 = 0 \): \( 4x_1 = 14 \) \( \Rightarrow x_1 = \frac{14}{4} = 3.5 \) Соединяем точки (0, 2.8) и (3.5, 0) и заштриховываем область ниже этой линии, так как нужно \( \leq \) (меньше или равно). 2. Неравенство \( 5x_1 + 3x_2 \geq 21 \): Преобразуем в уравнение \( 5x_1 + 3x_2 = 21 \) и найдем пересечения с осями координат: - Для \( x_1 = 0 \): \( 3x_2 = 21 \) \( \Rightarrow x_2 = \frac{21}{3} = 7 \) - Для \( x_2 = 0 \): \( 5x_1 = 21 \) \( \Rightarrow x_1 = \frac{21}{5} = 4.2 \) Соединяем точки (0, 7) и (4.2, 0) и заштриховываем область выше этой линии, так как нужно \( \geq \) (больше или равно). 3. Безопасный диапазон: \( x_1 \geq 0.5 \) – вертикальная линия через точку (0.5, 0), и область правее от нее. \( x_2 \geq 0 \) – горизонтальная линия по оси x, и область выше от нее. ### Находим пересечение всех областей Находим точки пересечения областей графически (или аналитически). Это допустимые области для переменных \( x_1 \) и \( x_2 \). ### Определение целевой функции Целевая функция \( F = 7x_1 + x_2 \). Находим координаты всех вершин найденной области пересечения ограничений и подставляем их в целевую функцию для определения максимального (или минимального) значения. Проверим несколько точек пересечения: 1. Пересечение \( 4x_1 + 5x_2 = 14 \) и \( 5x_1 + 3x_2 = 21 \) 2. Пересечение ограничения с \( x_1 \geq 0.5 \) Решая систему уравнений, можно воспользоваться методом подстановки или исключения, чтобы найти точные координаты этих точек пересечения. ### Решение системы уравнений: Решим: 1. \( 4x_1 + 5x_2 = 14 \) 2. \( 5x_1 + 3x_2 = 21 \) Отличный способ их решения это метод подстановки или уравнивания, такие пункты могут быть решены заданием матрицы коэффициентов и применения методов линейной алгебры, таких как метод Гаусса. Когда мы найдем точки пересечения, мы можем проверить и определить значение функции \(F\) в каждой из этих точек, чтобы найти оптимум (максимум/минимум) целевой функции согласно условиям задачи.

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Заполните, пожалуйста, данные для автора:

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн