Решение задачи графическим методом

Определение предмета и раздела

Предмет: Математика
Раздел: Математическое программирование (Линейное программирование)

Решение задачи графическим методом

Дано:

Необходимо решить задачу линейного программирования (ЗЛП) графическим методом:

Ограничения:  \begin{cases} -3x_1 + 2x_2 \leq 6, \ x_1 + x_2 \geq 3, \ x_1 \geq 0, \ x_1 \leq 4, \ x_2 \geq 0, \ x_1 - x_2 \geq 0. \end{cases} 

Целевая функция: F(x) = 3x_1 + 2x_2 \to \max

Построение графика

Преобразуем неравенства в уравнения границ областей:

1. -3x_1 + 2x_2 = 6
   Выразим x_2:
   x_2 = \frac{3}{2}x_1 + 3

2. x_1 + x_2 = 3
   Выразим x_2:
   x_2 = 3 - x_1

3. x_1 - x_2 = 0
   Выразим x_2:
   x_2 = x_1

4. Границы x_1 \geq 0, x_1 \leq 4, x_2 \geq 0 определяют область в первой четверти.

Теперь построим график:

• Изобразим линии, соответствующие уравнениям.
• Определим область, удовлетворяющую всем ограничениям.
• Найдём вершины допустимой области.
• Вычислим значение целевой функции в вершинах.
• Выберем точку, в которой целевая функция принимает максимальное значение.

График решения:

Построим график с помощью Python (Matplotlib):

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Определение границ
x1 = np.linspace(0, 4, 100)

# Уравнения границ
x2_1 = (3/2) * x1 + 3  # -3x1 + 2x2 = 6
x2_2 = 3 - x1  # x1 + x2 = 3
x2_3 = x1  # x1 - x2 = 0

# Ограничения по x2
x2_1 = np.maximum(x2_1, 0)
x2_2 = np.maximum(x2_2, 0)
x2_3 = np.maximum(x2_3, 0)

# Построение графика
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x1, x2_1, label=r'$-3x_1 + 2x_2 = 6$')
plt.plot(x1, x2_2, label=r'$x_1 + x_2 = 3$')
plt.plot(x1, x2_3, label=r'$x_1 - x_2 = 0$')

# Область допустимых решений
plt.fill_between(x1, np.maximum.reduce([x2_1, x2_3]), np.minimum(x2_2, 4), where=(x1 >= 0) & (x1 <= 4), alpha=0.3)

# Оформление графика
plt.xlim(0, 5)
plt.ylim(0, 5)
plt.xlabel(r'$x_1$')
plt.ylabel(r'$x_2$')
plt.legend()
plt.grid()
plt.title('Графическое решение ЗЛП')
plt.show()

На графике выделена допустимая область. Далее находим координаты её вершин и вычисляем значение целевой функции в них.

Вычисление значений целевой функции:

Находим координаты точек пересечения:

1. (0, 3)
2. (3, 0)
3. (4, 1)

Подставляем в целевую функцию:

• F(0,3) = 3(0) + 2(3) = 6
• F(3,0) = 3(3) + 2(0) = 9
• F(4,1) = 3(4) + 2(1) = 14

Ответ: Максимальное значение F(x) = 14 достигается в точке (4,1).