Проверить, входят ли в множество допустимых планов линейной задачи планирования (ЗЛП) точки при заданной системе ограничений

Предмет: Математика
Раздел: Линейное программирование (ЛП), теория допустимых планов

Задание:
Проверить, входят ли в множество допустимых планов линейной задачи планирования (ЗЛП) точки
[x = (2;1)] и [x = (5;3)] при заданной системе ограничений:

 \begin{cases} 3x_1 - x_2 \geq 0 \ x_1 - x_2 \geq -2 \ 4x_1 - x_2 \leq 16 \ 2x_1 - x_2 \leq 6 \ x_1 \geq 0 \ x_2 \geq 0 \end{cases} 

Шаг 1: Подставим [x = (2;1)] в систему ограничений

Проверим каждое из условий:

1. [3x_1 - x_2 = 3 \cdot 2 - 1 = 6 - 1 = 5 \geq 0] ✅
2. [x_1 - x_2 = 2 - 1 = 1 \geq -2] ✅
3. [4x_1 - x_2 = 4 \cdot 2 - 1 = 8 - 1 = 7 \leq 16] ✅
4. [2x_1 - x_2 = 2 \cdot 2 - 1 = 4 - 1 = 3 \leq 6] ✅
5. [x_1 = 2 \geq 0] ✅
6. [x_2 = 1 \geq 0] ✅

Вывод: Точка [x = (2;1)] удовлетворяет всем ограничениям — допустимый план.

Шаг 2: Подставим [x = (5;3)] в систему ограничений

Проверим:

1. [3x_1 - x_2 = 3 \cdot 5 - 3 = 15 - 3 = 12 \geq 0] ✅
2. [x_1 - x_2 = 5 - 3 = 2 \geq -2] ✅
3. [4x_1 - x_2 = 4 \cdot 5 - 3 = 20 - 3 = 17 \leq 16] ❌ (Нарушено!)
4. [2x_1 - x_2 = 2 \cdot 5 - 3 = 10 - 3 = 7 \leq 6] ❌ (Нарушено!)
5. [x_1 = 5 \geq 0] ✅
6. [x_2 = 3 \geq 0] ✅

Вывод: Точка [x = (5;3)] нарушает два ограничения — не является допустимым планом.

Ответ:

✅ Только [x = (2;1)] — допустимый план.

Правильный ответ: 1. Только x = (2;1); ✅